Metodichka_-_Terver

Теорема сложения вероятностей

. Âåðî

суммеят остьверпîÿвлениятностейхотяэтихсобытийодногобезизвероятностидвухсовместныхсобытийих совместногоравнапояв-

ления:

H1, H2, ..., Hn

гипотезщих пол ауюсоответствующуюгруппу,равнасуммеусловную(ãèï

ФормулВероятностьполнойсобытияP (A + Bроятности) = P (A) + P B) − P (AB).

(4)

нии одного из несовместныхA, котороесобытийможет

тез)аступить лишь при появле

-

произведенийвероятностьвероятностейсобытия каждойобразуюиз

(гипотез)

A:

n

X

ФормулПусть собыБ ией с P (A) = P A|Hi)P (Hi).

(5)

гипотез могут быть переоценены

ормуламA уже произошлБайеса î,

роятности

P (Hk)P (A Hk)

îлстейПримерв шине.)рыВелогонщик.Вероятность1с. (рВелогонщикш теряетниямипрсобытие.коланадеждуТеоремыв шиненасложусправнаåхнияв0гонке,.и01умножения. Найтесли сделавероятностьпро(6)

кнПрим

P (Hk

A) =

n

|

.

-

|

Pi=1 P (A|Hi)P (Hi)

ò ãî, ÷òî

сойдет

дистанции.

дистанции},

ешение. Обозначимколеса

A = {гонщик сх дит

òèÿ

= {

прокол первого

}

,

A2

= {

прокол второго колеса

}

. Ñîáû-

A1

умножения

A1

A2вероятностей,являютнезависимымиполучаем. Используя теоремы сложения и

P (A) = P (A1 + A2) = P (A1) + A(A2) − P (A1A2) =

2

номПримерпорядке расставлено2. (Задача о15книгахучебников,.) На причемстеллажепятьбиблиотекиизних в переплетев случай-.

= P (A1) + A(A2) − P (A1)P (A ) = 0.01 + 0.01

− 0.01

= 0.0199.

12

Библиот карь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что

õîòÿ áû îä

из взятых учебников окажется в переплете.

ешение. Обозначим событие A = {

. Хотя бы один из трех взятых

Bместныхокажется= одинсобытучебникавпереплете,й:оказалсяеслипроизойдетвпереплете};любое из следующих трех несов-

Cников= дваоказался в переплетев переплете}еåòå};

хотя бы один из взятыхучебников

D ={òðè

â

.

A =ÏîB теореме+ C + Dсложения.

ности событий

P (A) = P (B) + P (C) + P (D). Найдем вероят-

B, C, D:

C51C102

45

C52C101

20

C53

2

ТогдаP (B) =

=

,

P (C) =

=

, P (B

=

=

.

C153

91

C153

91

C153

91

45

20

2

67

îтриванннетахгербоòиеяза. Форму(т.ì.Каковаекверху.гербëà по.свероятностьдвухëíой вероятноститого,.Наугадчто.) Пустьпривы-

всехбраннуюиз десятиПримербросанияхешениемонету3..Обозначим(монетаЗадачаоднабросаютбракPупадет(Aì)ñîáû=

+

+

91

= .

сторон)

91

91

91

кверху},

A = {монета три раза упала ге бом

бракованная монета}{былавыбрана.Тогда стандартная монета},

H2

=

{была выбрана

H1 =

9

1

1

1

, P (A|H2) = 1.

Используя оðìулу полной

получаеì

P (H1) =

10 , P (H2) = 10

P (A|H1) =

23

= 8

верояòíîñòè,

1

9

1

17

Примерешениеупалакоторыйг монета;.рбом4.сИспользуем(ответствуетЗадачакверху2)браков. Найтимонетахтеусложеàннаявероятнобозначиям. монетаФопредыдуîñìóëàåíтьбракованная.ия,того,Баùчтоейесачтозидачи,.)былапредыдущейПустьивыбранамонетапроведентриза1)

разаопыт,тандартная

P (A) = 8 ·

10

+ 1 ·

10

=

80 .

станддаче: Aртная= {монетамонета},три раза упа

гербом кверху}, H1 = {была выбрана

òîì àйденных в предыдущей{бызадачеëà выбранавероятностей

монета}. С уче-

H2 =

9

1

1

1

P (H1) =

, P (H2) =

, P (13A|H1) =

=

, P (A|H2) = 1,

10

10

23

8

Аналогично

P (H1

A) =

P (A|H1)P (H1)

=

9

.

P (A)

17

|

белым

P (H2

A) =

|

= .

P (A H2)P (H2)

8

шарвторойИмеютсяаннойбудет

урны4т белыхиПримеродинаковыевыбирается.1черный,5. (Шарыурныодин.вишарВтретьейурныпервой. Найти. Формула2 белых3вероятностьбелыхполнойшарараитове.3Изчерных,ðîãîятности, чтонаугадэтотво.выб)

|

P (A)

17

P (H1) = P (H2) = P (H3) = 1/3.

Используя

ïîëíî2й вероятности,

4

получаем

ормулуP (A|H1) = 5 , P (A|H2) = 5 , P (A|H3) = 1.

1

2

1

4

1

11

îмйЗадачаполкебудет в1ра.случайСобраседьмымположениеомсочиненнапорсвоÿтретийдкем,.èйНтизàðòîìéåñåüåì,ìè1)òâомовероятпорядрасполагаетсястьêîí вом того,месте;чтона2)третийусловкниж

нуютЗ чи

P (A) = 3

· 5

+ 3 ·

5

+ 3

· 1 = 15 .

-

вероя

òîãî, ÷òî

окажется на третьем месте, при

условии, чòность

на полке стоит седьмой том.

являются

Задача 2. Известно, что 5 % всех мужчин и 0.25 % женщ

дальто иками. Случайно выбранное лицо оказалось дальтоником. Найти

вероятíость того, что это мужчина.

неизвестногопом щении цветаящикзатерялсяов. (Из оставшихсябелых,вероятностьящикекрас-

ных)Задачаодин 3шар. При

N

M

N

− M

выбираютможетбелым?передаватьсяпосредственном,одиншар. Каковаодному

èç

òîãî,

N÷òî−Задачавынутый1 шаров4. шарСообщениеслучайноокажется

связи, находящихся в различных состояниях; из них

n каналов

личном состоянии,

n1

каналов от-

(

n2 в хорошем, n3

n4

плохом

Функция р спр л ния èñ. 1

наяПустьвеличинаx есть некоторое д йствительное

исло. Событие, что случай-

÷

, обозначим как

U < x

.

Вероятность этогоU приметсобытиязначåние меньшее,рассматриваемаяx

P (U < x)

как ункция от

x, называется ункцией распределения случайной величины U :

СвойстваФункция ункциираспределенияраспределенияF (x) = P (U < x).

(8)

щими из определения:

F (x) обладает двумя свойствами, следую-

Функция

F (−∞) = 0,

F (+∞) = 1.

(9)

F (x) есть неубывающая ункция своего аргумента:

ФункцияЗнание распределенияункции распределениявероятностипри

ñîáû èé

(10)

F (x2)

≥ F (x1),

x2

> x1.

событий, связанных

ò найти вероятности

любых

со случайF (случайнойx) величинойпозволяе

бытия

U . Вероятность со

заданному интерваëуичиныинтервале: езу ь

тате опытаB = {будетα ≤ Uпринадлежать< β}, что значение

U

ется как приращение ункции распределения на этом [α, β), опредеëÿ-

P (α ≤ U < β)16= F (β) − F (α).

(11)

∞

МатематическоеожиданиеM [X] = Z

xf (x)dx.

−∞

Простейши.1

свойства мат

M [X]

кратко обозначается

mX

.

неслучайнойжиданвелè÷èíû.

матического

величине

c равно самой

c:

2. При прибавлении к случайнойM [c] =величинеc.

X неслучайной величины

c к ее математическому ожиданию прибавляется та же величина:

3. При умножении случайнойM [X + c]величины= M [X] +íàc.неслучайную величину

на ту же величину

c

c умножается ее математическое ожидание:

∞

Дисперсия

D[X] =

Z

(x − M [X])2 f (x)dx.

−∞

1

D[X]

кратко обозначается

DX .

Простейшие.Дисперсиясвойстванеслучйнойдисперсиивеличины.

c равна нулю:

2. При прибавлении к случайнойD[c] =величине0.

X неслучайной величины

c ее дисперсия не меняется:

3. При умноже ии случайнойD[X +величиныc] = D[X].

X на неслучайную величину

c ее дисперсию умножают на c2:

дисперс4.Дèсперсияйслагаемых:суммы независимыхD[cX] = c2Dслучайных[X].

величин равна сумме

Средним квадратическим отклонением случайной величины

D[X1 + X2... + Xn] = D[X1] + D[X2]... + D[Xn].

зывается корень квадратный из дисперсии

σX = √

X íà-

.

19

DX

U

2

4

7

Найти ункциюp

0распределения.50.20.3

величинать ее гра ик.

ешение. Значений, меньшихF (числаx) начерт2,

образом, при

U не примет. Таким

x ≤ 2 F (x) = P (U < x) = 0.

Åñëè < x ≤ 4

F (0x.)5.= 0.5

U

образом,

Действительно,4 вероятностьюможет0вероятность.2,принять. . одно

то 0.5событиезначение.

вероятностью

2 с вероятностью

значениеэтих значений

F (x) = 0.7

U

èç

4 < x

≤ 7

Åñëè

0.5 + 0.2 = 0.7.

его Такимр внаx1>. 7

òî Fискомая(x) = 1: ункция распределенияU ≤ 7 достоверноимеети вид

F (x) = 0.5

2 < x 4,

0

x

≤ 2,

ра ик ункции

0.7

4 < x

≤ 7,

íà

ïðè

2.

≤

1

x > 7.

рисунке

приведен