besov

(x, y) (см. рис. 20.5):

γ1 = {(u, v) : u = u1(t), v = v1(t)}, γ2 = {(u, v) : u = u2(t), v = v2(t)},

Fγ1 = {(x, y) : x = x1(t), y = y1(t)},

Fγ2 = {(x, y) : x = x2(t), y = y2(t)},

где

x1(t) B x(u1(t), v1(t)), y1(t) B y(u1(t), v1(t)),

x2(t) B x(u2(t), v2(t)), y2(t) B y(u2(t), v2(t)).

Будем считать, что в точке пересечения кривых γ1 и γ2 значение параметров t = t0. Сравним направление кратчайшего поворота касательного вектора к γ1 до касательного вектора к γ2 в точке пересечения кривых с соответствующим направлением для их образов F γ1, F γ2. Преобразуем для этого векторное произведение касательных векторов:

=[(x0uu01 + x0vv10 )~ı + (yu0 u01 + yv0 v10 )~|] × [(x0uu02 + x0vv20 )~ı+ +(yu0 u02 + yv0 v20 )~|] = (x0uu01yv0 v20 + x0vv10 yu0 u02)(~ı ×~|)− −(x0uu02yv0 v10 + x0vv20 yu0 u01)(~ı ×~|) =

= (x0uyv0 − x0vyu0 )(u01v20 − v10 u02)(~ı ×~|).

Здесь было учтено, что ~| ×~ı = −~ı ×~|. Сравнивая коэффициенты при ~ı ×~| в левой и правой частях цепочки равенств, получаем

По столбцам определителей стоят координаты касательных векторов к γ1 и γ2 (правый определитель) и к Fγ1 и Fγ2 (левый определитель). Сравнивая знаки этих определителей, прихо-

дим к выводу: при ∂(x, y) > 0 (< 0) направление кратчайшего

∂(u, v)

поворота от первого касательного вектора ко второму после отображения сохраняется (меняется на противоположное).

§ 20.4. Геометрич. смысл знака якобиана плоск. отображения 65

Пусть теперь гладкая кривая γ1 является частью границы некоторой области D, замыкание которой содержится в G. Пусть γ1 ориентирована положительно относительно D. Сравним ориентацию γ1 относительно D и ориентацию 1 = F (γ1) относительно F (D). Возьмем кривую γ2, пересекающую γ1, с касательным вектором в точке пересечения, направленным по нормали к γ1 внутрь D. Из предыдущего видно, что возможны случаи ( i = F (γi)):

Таким образом, приходим к окончательной формулировке геометрического смысла знака якобиана плоского отображения.

При положительном якобиане сохраняется после отображения направление кратчайшего поворота от одной из пересекающихся кривых до другой, а также ориентация кривой, являющейся частью границы области D, относительно D.

При отрицательном якобиане указанные направления кратчайшего поворота и ориентация относительно области меняются на противоположные.

Второй подход

Этот подход основан на использовании формулы Грина. Пусть снова

(

x = (u, v),

F :

y= (u, v)

—взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое ото-

бражение некоторой области G плоскости (u, v).

68 Глава 20. Криволинейные интегралы

§ 20.5. Потенциальные векторные поля

Определение 1. Векторное поле ~a = (P (x, y, z), Q(x, y, z),

R(x, y, z)), заданное на области G R3, называется потенциальным в области G, если существует непрерывно дифференцируемая функция U: G → R такая, что

Функцию U называют при этом потенциальной функцией поля ~a или потенциалом поля ~a.

Если функция U является потенциалом поля ~a, то функция U + C, где C — произвольная постоянная, также является потенциалом поля ~a.

Верно и обратное (что будет ясно из дальнейшего): если U, V — два потенциала поля ~a в области G, то V = U + C на G,

называемый набла.

R

Интеграл (~a, d~r) по контуру называют циркуляцией векторного поля ~a по контуру .

Теорема 1. Пусть ~a = (P, Q, R) — непрерывное поле в области G. Тогда следующие условия эквивалентны:

I. Поле ~a потенциально в G.

II0. Для любого кусочно гладкого контура G

Z

(~a, d~r) = 0.

II00. Для любых двух фиксированных точек A, B G значение интеграла

где AB — произвольная кусочно гладкая кривая, лежащая в G

исоединяющая точки A и B, не зависит от кривой.

До к а з а т е л ь с т в о. Установим сначала, что II0 II00. Пусть выполнено II0 и +1 , +2 — две кривые, лежащие в G, начала которых находятся в точке A, а концы — в точке B.

Тогда в +1 −2 является ориентированным контуром и в силу

II0

ZZ

Заменив во втором интеграле ориентацию кривой −2 на противоположную на +2 , получаем

ZZ

т. е. утверждение II00.

Пусть выполнено II00 и + G — произвольный кусочно

гладкий контур. Пусть точки A, B и кривые AB, BA являются дугами контура +, причем ориентация на каждой

= {(x(t), y(t), z(t)), a 6 t 6 b} — кусочно гладкая кривая, лежащая в области G. Тогда

Z b

[P (x(t), y(t), z(t))x0(t)+

a

+Q(x(t), y(t), z(t))y0(t) + R(x(t), y(t), z(t))z0(t)] dt =

= U(B) − U(A).

Покажем, наконец, что II00 I. Пусть точка A0 — фиксированная, а B(x, y, z) — произвольная точка области G. Рассмотрим функцию

R

A0

Покажем, что U является потенциалом поля ~a, т. е. выполняются равенства (1), из которых установим лишь первое. Пусть B0 = B0(x0, y0, z0) G. Установим равенство

U(x0, y0, z0) и U(x0 + x, y0, z0) представлены в виде (20.3.3) с

помощью соответственно кривых A0B0 и A0B B A0B0 B0B, где B0B — отрезок, соединяющий точки B0 и B. Тогда

U B U(x0 + x, y0, z0) − U(x0, y0, z0) =

При получении последнего равенства использовано определение криволинейного интеграла через определенный интеграл