besov

Глава 20 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 20.1. Криволинейные интегралы первого рода

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве R3 задана гладкая кривая

= {~r(t), a 6 t 6 b} = {(x(t), y(t), z(t)), a 6 t 6 b}, (1)

т. е. непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек (последнее условие означает, что |r0(t)|2 = x02(t) + y02(t) + + z02(t) > 0 на [a, b]).

Определение 1. Пусть числовая функция F : E → R задана на множестве . Тогда

ZZ b

называется криволинейным интегралом первого рода от функ-

ции F по кривой .

Установим некоторые свойства криволинейного инте-

= {~ρ(τ), α 6 τ 6 β}.

Совершив замену переменной в интеграле, получаем

Z β

F (x(t(τ)), y(t(τ)), z(t(τ)))|~ρ0(τ)| dτ =

α

З а м е ч а н и е. Последняя замена переменной обоснована ранее лишь для случая непрерывной функции F (теорема 14.5.1). Для ее обоснования в случае интегрируемой функции F (x(t), y(t), z(t)) достаточно сослаться на следующее обобщение специального случая теоремы 14.5.1.

Теорема 1 (14.5.1). Пусть функции ϕ, ϕ0 непрерывны на отрезке [α, β], ϕ0 6= 0 на [α, β], ϕ(α) = a, ϕ(β) = b.

Тогда из существования интеграла в одной из частей равенства

aα

следует существование интеграла в другой его части и справедливость равенства (3).

Эта теорема формально содержится в теореме 19.5.2, а непосредственно ее доказательство можно получить в виде упрощенного аналога доказательства теоремы 19.5.2.

Следствие. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой.

В самом деле, если (1) не только гладкая, а гладкая ориентированная кривая (ее ориентация определяется возрастанием параметра t), то замена параметра t = t(τ) = −τ (−b 6 τ 6 −a) меняет на ней ориентацию на противоположную. В силу свойства 1◦ величина криволинейного интеграла, вычисленного с помощью параметра τ, та же, что и вычисленного с помощью исходного параметра t.

Заметим, что гладкая кривая является спрямляемой, и в качестве допустимого параметра можно взять переменную длину

ее дуги S, отсчитываемую от A. Тогда описывается уравнением

= {~r(s), 0 6 s 6 S} = {(x(s), y(s), z(s)), 0 6 s 6 S},

где S — длина кривой, а интеграл (1) равен

ZZ S

3.◦ R ds = S, где S — длина дуги .

Для обоснования достаточно воспользоваться формулой (4) при F = 1.

= {si}i=0 — разбиение отрезка [0, S], si = si − si−1

— длина дуги кривой от точки rˆ(si−1) до точки rˆ(si), si−1 6 ξi 6 si.

Для доказательства свойства 4◦ заметим, что под знаком предела в правой части стоит интегральная сумма Римана интеграла из правой части (4), так что по определению определенного интеграла этот предел равен интегралу из правой части (4).

З а м е ч а н и е. Часто криволинейный интеграл первого рода определяют формулой (4). В этом случае от кривойтребуется лишь свойство быть спрямляемой.

§ 20.2. Криволинейные интегралы второго рода

Пусть

= {~r(t), a 6 t 6 b} = {(x(t), y(t), z(t)), a 6 t 6 b} (1)

— гладкая ориентированная кривая в трехмерном пространстве, A = rˆ(a) — ее начало, B = rˆ(b) — ее конец. Часто такую кривую обозначают символом AB. Ее единичный касательный вектор

(направленный в сторону возрастания параметра на кривой) непрерывно зависит от параметра t.

Определение 1. Пусть фиксирована декартова система координат в R3 и векторное поле (т. е. вектор-функция) ~a = = (P, Q, R) задано на множестве . Тогда

Z

P dx + Q dy + R dz B

Z b

B[P (x(t), y(t), z(t))x0(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y0(t)+

a

Z b

+R(x(t), y(t), z(t))z0(t)] dt = (a,~r0) dt (3)

a

называется криволинейным интегралом второго рода от век-

торного поля ~a = (P, Q, R) по кривой . Интеграл (3) часто

R

обозначают также символом (~a, d~r).

В частности, когда лишь одна компонента векторного поля ~a отлична от нуля, получаем следующие криволинейные интегралы второго рода от функций (соответственно P , Q, R):

ZZ b

a

ZZ b

a

ZZ b

a

Если является контуром (т. е. замкнутой кривой), то криволинейный интеграл (3) называется циркуляцией векторного поля ~a по контуру .

Установим некоторые свойства криволинейного интеграла

R(x(t), y(t), z(t)) (как функции переменной t) были интегрируемы на отрезке [a, b].

В частности, если поле ~a = (P, Q, R) непрерывно на , то

R

P dx + Q dy + R dz существует.

2.◦ (Выражение криволинейного интеграла второго рода через криволинейный интеграл первого рода).

Z Z

P dx + Q dy + R dz = [P cos α + Q cos β + R cos γ] ds. (7)

Для обоснования достаточно в (3) заменить x0(t), y0(t), z0(t) на равные им величины:

где штрих означает взятие производной по t, и сравнить полученный интеграл с криволинейным интегралом (20.1.2).

3.◦ Криволинейный интеграл второго рода не зависит от параметризации гладкой кривой с фиксированной ориентацией.

Доказательство такое же, как для криволинейного интеграла первого рода. Следует лишь учесть дополнительное требование t0(τ) > 0 на допустимую замену параметра t = t(τ), означающее сохранение ориентации кривой (1) при переходе к ее параметрическому заданию с помощью параметра τ.

4.◦ Криволинейный интеграл второго рода меняет знак на противоположный при изменении ориентации кривой на противоположную.

Для обоснования воспользуемся равенством (7). Напомним, что интеграл первого рода не меняется при изменении ориентации кривой. В то же время в (7) множители cos α, cos β, cos γ, а значит, и все подынтегральное выражение меняют знак на противоположный.

Следовательно, и интеграл в правой части (7) меняет знак на противоположный.

48 Глава 20. Криволинейные интегралы

6.◦ Криволинейные интегралы как первого, так и второго рода обладают свойством аддитивности относи-

тельно кривой интегрирования.

Поясним его. Пусть кривая задана уравнением (1), a < c < b,

если интеграл слева или оба интеграла справа существуют. Это свойство следует из выражения (3) криволинейного ин-

теграла второго рода через определенный интеграл и аддитивности определенного интеграла относительно отрезков интегрирования.

Обобщим понятие криволинейных интегралов первого и второго рода на интегрирование по кусочно гладким кривым.

Определение 2. Пусть = {~r(t), a 6 t 6 b} — кусочно гладкая (ориентированная) кривая, a = a0 < a1 < . . . < ak =

i=1 i

i=1 i

если каждый из интегралов в правой части равенства существует.

Пусть ориентированная кривая = {~r(t): a 6 t 6 b} R3,

τ = {ti}iiτ=0 — разбиение отрезка [a, b], |τ| = max(ti − ti−1) — мелкость разбиения. Пусть Λτ — ломаная с вершинами в точ-

ках rˆ(ti), последовательно соединенных ее звеньями. Такая ломаная называется вписанной в кривую . Ломаную Λτ также

будем считать ориентированной (при движении точки по ней ее вершины проходятся в порядке возрастания чисел i, rˆ(a) — начало ломаной, rˆ(b) — ее конец).

Лемма 1 (об аппроксимации криволинейного инте-

грала). Пусть = {~r(t): a 6 t 6 b} — гладкая ориентирован-

ная кривая в R3, τ = {ti}iiτ=0 — разбиение отрезка [a, b], Λτ — вписанная в ломаная.

Пусть E — компакт в R3 (т. е. ограниченное замкнутое множество), содержащий и Λτ при всех достаточно малых

|τ|.

Пусть на E заданы непрерывные функции P , Q, R. Тогда

через Ai−1Ai обозначим звено вписанной ломаной с началом в Ai−1 и концом в Ai. Пусть ε > 0. В силу равномерной непрерывности ~r = ~r(t) на [a, b] существует δ = δ(ε) > 0 такое, что

Будем считать, что |τ| < δ, где δ = δ(ε) выбрано по ε = ε(η), так что выполняются оценки (8), (9). Оценим разность интегралов