4.2. Неподвижные точки многозначных

Сжимающих отображений.

Пусть -полное метрическое пространство;, как и прежде, обозначает совокупность всех непустых замкнутых ограниченных подмножествX;h– метрика Хаусдорфа в

4.2.1. Определение. Многозначное отображениеназывается к-липшецевым, если существует число к0 такое, что для любых х, уХ выполнено неравенство

Если к < 1, то к-липшецего многозначное отображение Fназывается сжимающим (к- сжимающим).

4.2.2. Теорема.ЕслиF– сжимающее многозначное отображение, то оно имеет по крайней мере одну неподвижную точку, то есть точкутакую, что.

Пусть Н – гильбертово пространство, - замкнутый шар с границей.

4.2.3. Лемма.Если, то для любой точкиточкапредставляется в виде.

Доказательство.Возможны два случая:

1)Если, то.

2)Пусть . Предположим. Согласно лемме 1.9тогда и только тогда, когда для любоговыполняется неравенство

. Докажем это неравенство для точки. Тогда

Лемма доказана.

Пусть - многозначное сжимающее отображение,. Пусть

4.2.4. Лемма.Отображениеявляется многозначным сжимающим отображением.

Доказательство.Так как, выполнено включение. Это означает, что для любой точкисуществует точкатакая, что. В силу теоремы 1.10 выполняется неравенство. Тогда для любойнайдетсятакая, что. ОткудаСледовательно,.

Аналогично доказывается, что из включения следует

Таким образом, получим неравенство . Следовательно, в силу свойств метрики Хаусдорфа будет выполнено неравенство. Так как отображение Так как отображение -сжимающее, то существует число, для которого справедливо, то есть отображениесжимающее. Лемма доказана.

4.2.5. Теорема.Пусть- многозначное сжимающее отображение такое, чтодля любой точки. Тогдаимеет неподвижную точку.

Доказательство.Пустьтогда в силу теоремы 4.2.2 существует точка. Возможны два случая.

1. Пусть является неподвижной точкой отображенияF. Если это выполнено, то теорема доказана.

2. Пусть xявляется неподвижной точкой. Предположим, что хне является неподвижной точкойF, то естьи. Тогда существует точкатакая, что, так как в противном случае.

Тогда в силу леммы 4.2.3 существует такое, что, следовательно,. Тогда, что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.