3.2. Метрическая проекция на замкнутое множество.

Пусть У – баннахово пространство.

3.2.1. Определение.Совокупность всех непрерывных линейных функционаловобразует линейное пространство, которое называется пространством, сопряженным с Е, и обозначается.

Пространство , сопряженное к, - это есть совокупность всех линейных непрерывных функционалов на.

Поскольку можно каждый элемент из Е рассматривать еще и как элемент пространства , удобно для значений линейного функционалавместо записиввести обозначение:

Рассмотрим каноническое вложение

3.2.2. Определение.Банахово пространство Е называется рефлексивным, если, т.е. Е изометричнопри каноническом вложенииi.

3.2.3. Определение.Последовательность

Любого линейного функционала последовательность чисел.

3.2.4. Теорема.В рефлексивном банаховом пространстве любое ограниченное замкнутое выпуклое множество является слабо компактным.

3.2.5. Лемма (Мазура).Пусть Е – рефлексивное банахово пространство, С – замкнутое выпуклое множество в Е, последовательность… Тогда существует последовательностьчто выполняются следующие условия: 1)

3.2.6. Теорема.Пусть Е – рефлексивное банахово пространство, С – замкнутое выпуклое множество в Е. Тогда для любой точки.

Доказательство.Пусть

. Возьмем минимизирующую последовательность

Так как

общности можно считать, чтослабо сходится кВ силу леммы Мазура найдется последовательностьВ полученном неравенствеТеорема доказана.

Возникает отображение

3.2.7. Лемма.Для любогоявляется ограниченным выпуклым замкнутым множеством.

Доказательство.Выпуклость и замкнутость множествадоказывается аналогично теореме 3.1.3.

Представляет интерес изучение непрерывности многозначного отображения .

§4. Некоторые приложения метрической

Проекции.

4.1 . Непрерывное сечение многозначного отображения

В Гильбертовом пространстве.

Пусть Х – метрическое пространство, - непрерывное по Хаусдорфу многозначное отображение.

4.1.1. Определение.

Однозначное отображение называется сечением многозначного отображенияF, если

f(X)F(X) для каждой точкиxX.

Докажем теорему о существовании сечения отображения F.

Возьмем точку DН и определим отображениепо следующему правилу: для любоговыполнено, т.е.m(K) – это точка К такая, на которой реализуется кратчайшее расстояние до нуля пространстваH.

4.1.2. Лемма. Для любых , гдеh– метрика Хаусдорфа, выполняется неравенство

.

Доказательство.

По определению . Это означает, что. Для любойнайдется точкатакая, чтои для любойнайдется точкатакая, что. Обозначим. Тогда длянайдется точка,

для .

Воспользовавшись леммой 1.6 получим

Откуда

Сложим последние два неравенства .

Следовательно, . Итак, получим, что. Лемма доказана.

4.1.3. Теорема.

Отображение является непрерывным отображением.

Доказательство.

Докажем, что для любого открытого множества Vв Н его прообразявляется открытым множеством. Это означает, что какое бымы не взяли – существует числотакое, что-окрестностьтогда и только тогда, когда. Так какV– открытое множество, то существует числотакое, что. Выберемтак, чтобы выполнялось неравенство:. Тогда для любого множествавыполнено. В силу леммы 4.1.1, то есть для любоговыполняется включение. Итак, для любого, а следовательно, множествоWоткрыто. Теорема доказана.

4.1.4 Следствие.

Пусть X– метрическое пространство, Н – гильбертово пространство-непрерывное по Хаусдорфу многозначное отображение. Тогда для любых

Существует непрерывное сечение такое, чтодля любогои выполняется равенство.

Доказательство.

Возьмем два случая:

1)Пусть , тогда возьмем непрерывное отображениетакое, что для любого. Рассмотрим композицию. Это отображение удовлетворяет условию. Однозначное отображениедля любогоявляется сечением многозначного отображенияF. Отображениеfнепрерывно, так как является композицией двух непрерывных однозначных отображений. Если, то,то есть мы построили однозначное отображение.

2)Пусть - непрерывное по Хаусдорфу многозначное отображение, причем. Тогда в силу первого случая существует непрерывное отображениетакое, что. Рассмотримнепрерывное,

для любого хХ. Следствие доказано.