§2. Многозначные отображения. Основные свойства.

2.1 Теорема.

(в)

(г)

(д)

Доказательство.(а) вытекает непосредственно из определения.

(б)

(в)

.

(г) Тогда

(д)

СТеорема доказана.

Рассмотрим функцию Эта функция является метрикой на множествеДействительно, для любыхвыполнено

1)

2)

3)

4)

Определение.Функцияhназывается метрикой Хаусдорфа.

Заметим, что из п.(д) теоремы 2.1 вытекает, что для любых выполнено

Пусть X,Y– произвольные множества; многозначные отображенияFмножестваXв множествеY– это такое соответствие, которое сопоставляет каждой точке

Пусть

2.3. Определение.Множество

называется графиком многозначного отображенияF/

2.4. Определение. Многозначное отображениеFназывается полу непрерывным сверху в точке

2.5. Определение.Многозначное отображениеFназывается полу непрерывным сверху, если оно полу непрерывно сверху в каждой точке.

2.6. Определение.Многозначное отображениеFназывается замкнутым, если его график

Пусть X,Y– нормированные пространства.

2.7. Теорема.(критерий полу непрерывности сверху).

Пусть - многозначное отображение,X– замкнутое подмножество вY, пусть существует компактное подмножествотакое, что для любогоОтображение

Доказательство. Необходимость.ПустьF– полу непрерывно сверху. Докажем замкнутость графика

, норма в этом пространстве определяется условием

Индуцирует покоординатную сходимость точек. Рассмотрим произвольную последовательность точекЕсли эта последовательностьто это значает, что

график – не замкнут. Это означает, что существует последовательностьгдеСледовательно,Согласно условии теоремы имеем

компактного множества есть компакт, то Рассмотрим

последовательность

Тогда

необходимость.

Достаточность.Пусть график

сверху. Предположим, что Fне является полу непрерывным сверху, тогда существуют точка

т.е. существует

ограничения общности можно считать, что

покоординатной сходимости, то

доказывает теорему.

2.8. Определение.Многозначное отображениеназывается непрерывным в метрике Науедорфа, если оно непрерывно как однозначное отображение в метрическое пространство

§3. Метрическая проекция в баннаховым пространстве.

3.1. Метрическая проекция на компактное множество.

Пусть Е – баннахово пространство, К – выпуклое компактное подмножество в пространстве Е. Для произвольной точки

Доказательство.Пусть

под последовательность

Таким образом, кратчайшее расстояние на компакте всегда реализуется. Теорема доказана.

3.1.2. Пример.Рассмотрим вещественное пространствов котором норма произвольного элемента

Найдем множество, на котором реализуется кратчайшее расстояние от точки до множества

Чтобы найти точки, в которых реализуется кратчайшее расстояние, нужно решить уравнение:

Оно эквивалентно уравнению:

Очевидно оно возможно, когда В банаховом пространстве в отличие от гильбертова пространства кратчайшее расстояние может достигаться на множестве.

Изучим свойства метрической проекции

3.1.3. Теорема.Для любой точки

множеством.

Доказательство.Докажем сначала выпуклость множества

точку

В силу выпуклости множестваТак какd– это кратчайшее расстояние, тоС другой стороны оценимИтак, получили

Для доказательства замкнутости множества перейдя к пределу приТеорема доказана.

Определим функцию

3.1.4. Лемма.Функция

Доказательство.Предположим противное, тогда существуют точкапоследовательностьВ определении функциирасстояние всегда реализуется, поэтому для любой

(3.1.1)

И для любого Так как последовательностьк пределу в равенстве (3.1.1) получим. Следовательно,. Возьмем. Оценим расстояниетак какИтак,. Получили противоречие. Следовательно, функциянепрерывна. Лемма доказана.

3.1.5. Теорема.Отображение

Доказательство.Так какдоказать замкнутость графика этого отображения. Пусть

Следовательно,. Теорема доказана.