- •Полином Жегалкина
- •Полнота булевых функций
- •Классификация предикатов:
- •Формулы логики предикатов.
- •Понятие равносильной формулы.
- •Приведенная форма для формулы предикатов.
- •Предваренная нормальная форма для формул логики предикатов.
- •Элементы теории алгоритмов.
- •Метрические характеристики графа.
- •Нахождение кратчайшего пути.
- •– Разрез
- •2), , Согласно 2б - противоречие, для всех вершин.
Полином Жегалкина
Конъюнкция вида называется монотонной конъюнкцией (отсутствует отрицание переменных).
Полиномом Жегалкина от n переменных называется сумма по модулю 2 различных монотонных конъюнкций, составленных из этих переменных.
, – длина полинома.
Жегалкин рассматривал только операции конъюнкции и сложения по модулю 2.
В алгебре с этими операциями справедливо:
Теорема: для любой булевой функции существует полином Жегалкина, представляющий данную функцию и причём только один.
Доказательство: существование следует из того, что для любой булевой функции можно построить СДНФ, далее дизъюнкцию и отрицание можно заменить на конъюнкцию и сложение по модулю 2.
Докажем единственность. Рассмотрим множество булевых функций от переменных - . Число булевых функций равно . Покажем, что число полиномов Жегалкина от переменных тоже и тогда, так как для любой функции существует полином Жегалкина, для каждой функции такой полином будет единственный.
Общий вид полинома Жегалкина от трёх переменных:
перестановок
Полином Жегалкина от переменных мы представим как
т.к. число слагаемых равно числу подмножество множества из элементов, то оно будет равно . Каждый поэтому число полиномов Жегалкина совпадает с числом .
Замыкание. Основные замкнутые классы.
Рассмотрим множество булевых функций
Замыканием класса называется множество функций, представляющих собой суперпозиции различных функций класса
(само входит). Обозначение:
Свойства:
Класс функций называется замкнутым, если он совпадает со своим замыканием. - замкнутый.
Основные замкнутые классы:
-
Класс (булевы функции, сохраняющие константу 0) Лемма: класс замкнут. Доказательство: возьмём функцию: и функций от переменных вида
-
Класс (булевы функции, сохраняющие константу 1) Лемма: класс замкнут. Доказательство: возьмём функцию: и функций от переменных вида
-
Класс S (самодвойственные функции). Функция называется самодвойственной, если она совпадает со своей двойственной (на противоположенном наборе принимает противоположенное значение). Лемма: класс замкнут. Доказательство: возьмём функцию: и функций от переменных вида Лемма: (о несамодвойственной функции) Пусть – несамодвойственная функция , тогда из неё путём подстановки вместо её переменных выражение или можно получить несамодвойственную функцию одной переменной, т.е. константу. Доказательство: С использованием набора формируем функцию , это функция от одной переменной Формируем функцию Покажем, что данная функция является константой.
-
Класс (монотонные функции) Рассмотрим 2 набора и из ; будем говорить, что ( предшествует ), если Таким образом на множестве мы ввели бинарное отношение предшествования, которое является отношением частичного порядка. Булева функция называется монотонной, если Лемма: класс является замкнутым. Доказательство: возьмём функцию: и функций от переменных вида Рассмотрим 2 набора и , такие, что ; так как Обозначим значения , то есть и по предположению. В силу монотонности Таким образом, из того, что мы получили , значит - монотонна. Лемма: (о немонотонной функции) Если функция не является монотонной, то из неё путём подстановки вместо её переменных констант 0,1 и функции можно получить немонотонную функцию одной переменной, т.е. константу. Доказательство: рассмотрим функцию , тогда . Покажем, что в этом случае существуют 2 соседних набора и : 1) Если уже соседние, то 2) Пусть не соседние и пусть они отличаются на t координат (у - это 0, а у - это 1). Строим цепочку соседних наборов. Переходим с помощью соседних наборов. набор и каждая пара связана соседством. При чём, так как , то по хотя бы на одной паре двух соседних наборов, которые обозначаются как и выполняется такое же неравенство . Предположим, что полученные нами и отличаются по s-той координате, т.е. и . Рассмотрим функцию , тогда, . Мы получили, что , но , таким образом - немонотонная функция одной переменной
-
Класс (линейные функции) Функция называется линейной, если её полином Жегалкина имеет степень не больше 1. Лемма: пусть - множество линейных функций от переменных, тогда мощность этого множества Доказательство: множество функций однозначно определяется набором своих коэффициентов Лемма: класс замкнут Доказательство: При раскрытии знаков суммирования, переменные сохраняют первую степень.
Лемма: (о нелинейной функции)
Пусть тогда из этой функции путем подстановки вместо её переменных констант 0,1 и функций или , а так же, если необходимо, взятия отрицания над всей функцией, можно получить нелинейную функцию . Доказательство: тогда её полином Жегалкина включает слагаемые, имеющие 2 и более сомножителей. Пусть среди таких слагаемых есть слагаемые, включающие , тогда представим функцию в виде:
В силу того, что полином Жегалкина для – единственный тогда :. Берем этот набор и вычитаем от него значение других функций: . На базе построим =