Полином Жегалкина
Конъюнкция
вида
называется монотонной конъюнкцией
(отсутствует отрицание переменных).
Полиномом Жегалкина от n переменных называется сумма по модулю 2 различных монотонных конъюнкций, составленных из этих переменных.
,
– длина полинома.
Жегалкин рассматривал только операции конъюнкции и сложения по модулю 2.
В алгебре с этими операциями справедливо:
Теорема: для любой булевой функции существует полином Жегалкина, представляющий данную функцию и причём только один.
Доказательство: существование следует из того, что для любой булевой функции можно построить СДНФ, далее дизъюнкцию и отрицание можно заменить на конъюнкцию и сложение по модулю 2.
Докажем
единственность. Рассмотрим множество
булевых функций от
переменных -
.
Число булевых функций равно
.
Покажем, что число полиномов Жегалкина
от
переменных тоже
и тогда, так как для любой функции
существует полином Жегалкина, для
каждой функции такой полином будет
единственный.
Общий вид полинома Жегалкина от трёх переменных:
перестановок
Полином
Жегалкина от
переменных мы представим как
т.к.
число слагаемых равно числу подмножество
множества из
элементов, то оно будет равно
.
Каждый
поэтому число полиномов Жегалкина
совпадает с числом
.
Замыкание. Основные замкнутые классы.
Рассмотрим
множество
булевых функций
Замыканием
класса
называется множество функций,
представляющих собой суперпозиции
различных функций класса
(само
входит).
Обозначение:
Свойства:
Класс
функций
называется замкнутым, если он совпадает
со своим замыканием.
- замкнутый.
Основные замкнутые классы:
-
Класс
(булевы функции, сохраняющие константу
0)
Лемма:
класс
замкнут.
Доказательство: возьмём
функцию:
и
функций от
переменных вида
-
Класс
(булевы
функции, сохраняющие константу
1)
Лемма:
класс
замкнут.
Доказательство: возьмём
функцию:
и
функций от
переменных вида
-
Класс S (самодвойственные функции). Функция называется самодвойственной, если она совпадает со своей двойственной (на противоположенном наборе принимает противоположенное значение).
Лемма:
класс
замкнут.
Доказательство: возьмём
функцию:
и
функций от
переменных вида
Лемма:
(о несамодвойственной функции)
Пусть
– несамодвойственная функция
,
тогда из неё путём подстановки вместо
её переменных
выражение
или
можно получить несамодвойственную
функцию одной переменной, т.е.
константу.
Доказательство:
С использованием набора
формируем функцию
,
это функция от одной переменной
Формируем
функцию
Покажем,
что данная функция является константой.
-
Класс
(монотонные функции)
Рассмотрим 2
набора
и
из
;
будем говорить, что
(
предшествует
),
если
Таким
образом на множестве
мы ввели бинарное отношение
предшествования, которое является
отношением частичного порядка.
Булева
функция
называется монотонной, если
Лемма:
класс
является замкнутым.
Доказательство:
возьмём
функцию:
и
функций от
переменных вида
Рассмотрим
2 набора
и
,
такие, что
;
так как
Обозначим
значения
,
то есть
и
по предположению.
В силу монотонности
Таким
образом, из того, что
мы получили
,
значит
- монотонна.
Лемма: (о немонотонной
функции)
Если функция
не является монотонной, то из неё путём
подстановки вместо её переменных
констант 0,1 и функции
можно получить немонотонную функцию
одной переменной, т.е. константу.
Доказательство:
рассмотрим функцию
,
тогда
.
Покажем, что в этом случае существуют
2 соседних набора
и
:
1)
Если
уже соседние, то
2)
Пусть
не соседние и пусть они отличаются на
t
координат (у
- это 0, а у
- это 1). Строим цепочку соседних наборов.
Переходим с помощью соседних наборов.
набор
и каждая пара связана соседством. При
чём, так как
,
то по хотя бы на одной паре двух соседних
наборов, которые обозначаются как
и
выполняется такое же неравенство
.
Предположим, что полученные нами
и
отличаются по s-той
координате, т.е.
и
.
Рассмотрим функцию
,
тогда,
.
Мы получили, что
,
но
,
таким образом
- немонотонная функция одной переменной
-
Класс
(линейные функции)
Функция
называется линейной, если её полином
Жегалкина имеет степень не больше
1.
Лемма: пусть
- множество линейных функций от
переменных, тогда мощность этого
множества
Доказательство:
множество функций однозначно определяется
набором своих коэффициентов
Лемма:
класс
замкнут
Доказательство:
При
раскрытии знаков суммирования,
переменные сохраняют первую степень.
Лемма: (о нелинейной функции)
Пусть
тогда из этой функции путем подстановки
вместо её переменных
констант 0,1 и функций
или
,
а так же, если необходимо, взятия
отрицания над всей функцией, можно
получить нелинейную функцию
.
Доказательство:
тогда её полином Жегалкина включает
слагаемые, имеющие 2 и более сомножителей.
Пусть среди таких слагаемых есть
слагаемые, включающие
,
тогда представим функцию
в виде:
В
силу того, что полином Жегалкина для
– единственный
тогда
:
.
Берем этот набор и вычитаем от него
значение других функций:
.
На
базе
построим
=