§2 . Финансовый анализ базовых рент пренумерандо и постнумерандо

2.1.Коэффициенты дисконтирования и наращения рент

Примем период τ ренты за базовую единицу времени, тогда ее срок составит n этих единиц, где n – любое целое число, n≥1. Пусть каждый член ренты равен Y ден. Ед., а ставка сложного процента за базовую единицу времени равна i (эффективная ставка). Для краткости ренту пренумерандо обозначим через , а ренту постнумерандо – через. Для удобства применим моментначала договора ренты за 0. Чтобы избежать в математической модели выплат на границе интервалов, разобьем интервал [0,n) – срок действия договора – на n прилегающих, но непересекающихся интервалов длины 1:

[0, 1), [1, 2),…, [n-1,n).

Левый конец каждого из этих интервалов включен в него, а правый – нет. Для наглядности выберем также некоторое малое положительное число и представим себе, что в интервале [k-1, k) выплата постнумерандо происходит в момент k - ℇ, k=1, 2, …, n-1. Такой подход позволяет избежать путаницы при подсчете общего числа выплат до момента k (рис.1.1).

Рис. 1.1

Например, пусть период ренты равен одному месяцу, выплата постнумерандо происходит в первый, а пренумерандо – в последний рабочий день месяца. Тогда в математической модели можно принять, что

.

Как правило, в действительности мы не будем пользоваться этой конкретизацией, а будем считать, что выплаты постнумерандо непосредственно предшествуют, а выплаты пренумерандо сразу следуют за числом (датой) k – границей между смежными периодами ренты. Формально это означает, что ℇ пренебрежимо мало.

Заключив построение модели выплат, перейдем к чисто финансовому анализу. В главе 2 мы установили, что стоимость каждой денежной суммы зависит от момента ее получения, так что при суммировании разновременных денежных сумм нужно сначала привести их к одному интересующему нас моменту времени.

Пусть (t) – суммарная стоимость всех выплат ренты , приведенная к моментуt, а (t) – аналогичная величина для ренты ,. Выведем теперь формулы для суммарной стоимости этих рент в момент 0 начала договора о ренте (современная или текущая стоимость, или PV ренты) и в момент n конца договора о ренте (наращенная стоимость или AV ренты). Эти величины нужны для правильного определения цены продажи или покупки ренты. Введем обозначения:

,

, .

Приводя все выплаты к моменту 0, получим с помощью формул для суммы членов геометрической прогрессии совершенные стоимости рент пренумерандо и постнумерандо (рис.12,1):

, (1.1)

. (1.2)

Знаменателем прогрессии здесь служит введенный ранее коэффициент дисконтирования

.

Перейдя теперь от стоимости рент в момент 0 к их стоимости в момент n, получим наращенные стоимости рент пренумерандо и постнумерандо:

, (1.3)

. (1.4)

Для стоимости рент с единичными выплатами Y=1 ден. ед. в международной финансовой практике широко применяются специальные обозначения. Так, современные стоимости в момент 0 таких рент постнумерандо и пренумерандо обозначают соответственно

(1.5)

Отсюда следуют простые соотношения

(1.6)

Наращенные стоимости в момент n рент постнумерандо и пренумерандо обозначают соответственно

(1.7)

Отсюда следует, что

(1.8)

Величины иназывают коэффициентами дисконтирования, аи– коэффициентами наращения ренты. Отметим, что если величинаi эффективной процентной ставки фиксирована, то то в нижнем индексе пишут вместо.

Удобство введенных величин состоит в том, что для получения стоимости ренты с выплатой Y достаточно соответствующую стоимость ренты с единичной выплатой (1.6), (1.8) легко выразить через любую из них, каждая из них является простой функцией от n и i , их легко вычислить с помощью калькулятора. Они обладают рядом интересных свойств, часть из которых будет рассмотрена ниже.

Заметим, что обозначения величин для (1.5)-(1.8) и для ряда других введены еще в конце XlX в. Международным союзом актуариев – страховых и финансовых математиков – и повсеместно применяются в финансовых расчетах до настоящего времени.