24.Криволинейные интегралы первого и второго рода.

Зададим кривую f(x,y). Разобьем кривую наnотрезков и выберем на каждом из них произвольную точку. Обозначим- наибольший из диаметров всех отрезков. Тогда, интегральная сумма равна, гдедлина отрезка. Криволинейным интеграломIрода называется, если он существует конечен и не зависит от диаметра разбиения и длин отрезков. Еслиf(x,y)- непрерывная функция,y(x) — непрерывно дифференцируема на [a,b], то. Для случая параметрически заданной кривой:.

Криволинейные интегралы второго рода:

Пусть дана непрерывная и незамкнутая кривая (AB), вдоль которой задана функцияf(x,y). Выберем на отрезке кривойпроизвольную точку, вычислим в ней значение функции, это значение умножим на проекцию дуги на осьx, т. е. на, составим сумму:, если при стремлениик нулю эта сумма имеет конечный пределI, не зависящий ни от способа дробления кривой, ни от выбора промежуточных точек, то такой предел называется криволинейным интегралом отf(M)dx, взятым по пути (AB), обозначается, аналогично получаем для осиy. Если вдоль кривой (AB) определены две функцииP(M)=P(x,y),Q(M)=Q(x,y) и существуют интегралы, то их сумму называют криволинейным интегралом общего вида и полагают.

25.Теорема Грина.

Теорема: Пусть ф-ции P,Q,- непрерывны в областиD, Г — граница областиD. Тогда справедлива формула:- формула Грина.

Доказательство:

,. Рассмотрим областьD, ограниченную контуром Г, состоящим из кривых

(PQ):

(SR):, вычислим двойной интеграл

Видим, что ,

. Для рассмотрения интеграла по всему контуру Г областиD, прибавим к правой части полученного равенства еще интегралы, равные нулю, так как отрезки (PS) и (RQ) перпендикулярны к осиx, получим,. Аналогично для. Таким образом, теорема доказана.

26.Поверхностные интегралы первого и второго рода.

Первого рода: Пусть в точках некоторой двусторонней гладкой поверхности (S), ограниченной контуром, определена функцияf(M)=f(x,y,z). Разобьем поверхность (S) с помощью сети произвольно проведенных кривых на части, взяв в каждой частипо произволу точку , вычислим в этой точке значение функции, и, умножив на площадь соответствующей части пов-ти, составим интегральную сумму. Поверхностным интегралом первого рода называется предел этой суммы при стремлении диаметров всех частей поверхноси к нулю, если этот предел существует, конечен и не зависит от количества разбиений и выбора промежуточных точек. Обозначение:. Формулы для вычисления:

где - первая квадратичная форма поверхности,

.

Второго рода:

Пусть дано векторное поле a=(P,Q,R), двухсторонняя поверхностьSс выбранным направлением нормалиn, разобьемSнаkчастей, выберемkточек, составим интегральную сумму , где. Поверхностным интегралом второго рода называется предел интегральной суммы при стремлении наибольшего диаметра разбиений к нулю, если он существует, конечен и не зависит от количества разбиений и выбора промежуточных точек. Обозначение:.

27.Теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса.

Рассмотрим тело (V), ограниченное куочно-гладкими поверхностями

и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны осиZ. Пусть в области (V) определена некоторая функцияR(x,y,z), непрерывная вместе со своей производнойво всей области (V), включая ее границу, тогда имеет место формула, причем (S) – поверхность, ограничивающая тело и интеграл справа распространен на внешнюю её сторону. Аналогично, имеют место формулы

,. Сложив все три формулы мы придем к общей формуле Остроградского-Гаусса:

. В случае поверхностного интеграла. Стоящее под знаком тройного интеграла выражение называется дивергенцией вектораA. Тогда, формула Остроградского-Гаусса перепишется в виде.

Ф-ла Стокса: Пусть S– простая гладкая поверхность, ограниченная контуром Г,n– нормаль к поверхности. Еслиa=(P,Q,R), тогда -ф-ла Стокса.

Или.