Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
matan.docx
Скачиваний:
62
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
67.03 Кб
Скачать

20. Замена переменных в двойном интеграле.

Рассмотрим двойной интеграл где область (D) ограничена кусочно-гладким контуром (S), а функцияf(x,y) непрерывна в этой области. Предположим, что область (D) связана формулами. Интегральная сумма,, где- некоторая определенная точка области. Получим. Точкаберется в областипроизвольно, пользуясь этим получим:. Тогда сумма примет вид, которая, очевидно, является интегральной суммой для интеграла. Таким образом,.

21.Тройной интеграл. Приложения тройного интеграла.

Пусть в некоторой пространственной области (V) задана функцияf(x,y,z). Разобьем эту область на конечное число частей. В пределахi-го элемента возьмем произвольные точки, значение ф-ции в этой точкеумножим на объеми составим интегральную сумму. Конечный предел этой суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех областейназывается тройным интегралом функции в области (V), если он непрерывен, конечен и не зависит от количества и диаметра разбиений. Обозначение.

Св-ва тройных интегралов:

1)Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых фунецией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.

2)Если (V)=(V')+(V''), то, причем из существования интеграла слева вытекает существование интегралов справа и наоборот.

3)Если k=const, то

4)

  1. Если выполняется неравенство , то

  2. Имеет место неравенство

  3. Если функция удовлетворяет неравенству , то,

иными словами, имеет место теорема о среднем значении .

Механические приложения:

Обозначим через плотность распределения масс в произвольной точке тела (V), явл. Функцией от координат точки. Для величины всей массы будем иметь.

Статические моменты: .

Координаты центра тяжести: ,,.

В случае однородного тела: ,,.

Моменты инерции относительно осей координат: ,,.

Относительно координатных плоскостей: ,,.

Пусть массы, заполняющие тело (V), оказывают притяжение на точкупо закрну Ньютона. Сила притяжения со стороны элементаdmмассы имеет на оси координат проекции,,, где- расстоение элемента до точкиA. Получим:,,. Аналогично определяется и потенциал тела на точку:.

22.Сведение тройного интеграла к повторному.

Если функция f(x,y,z) определена в области (V), то вместо неё следует ввести функциюf*(x,y,z), определенную в объемлющем (V) прямоугольном параллелепипеде (T), полагаяf*(x,y,z)=f(x,y,z) в (V) иf*(x,y,z)=0 вне (V). Пусть тело (V) содержится между плоскостямии каждой параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значениюx, пересекается по некоторой фигуре, имеюшей площадь, обозначим её проекцию на плоскостьyz. Пусть, далее, тело ограничено снизу и сверху пов-тямипроектирубщимися на пл-тьxyв некоторую фигуру (D), ограниченной кривой (K). Имеем:. Если область (D) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную кривымии прямыми, то, заменяя двойной интеграл повторным, получим

23.Замена переменных в тройном интеграле.

Пусть между областями (D) ипространствxyzисуществует соответствие. Покажем, что имеет место равенство:где. Разложив кусочно-гладкими поверхностями области (D) ина элементарные части, получим, где- некоторая точка области, не зависящая от нашего выбора. Возьмем соответствующую точкуобласти, т. е. положими составим интегральную сумму для первого из интегралов. Подставив соответствующие значения, придем к сумме, которая, очевидно, является условием для второго интеграла.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]