
- •Список вопросов к экзамену по математическому анализу
- •2. Критерий Коши сходимости знакопостоянного ряда.
- •3. Признаки сравнения знакопостоянных рядов.
- •4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда.
- •5. Признаки Лейбница, Абеля и Дирихле сходимости знакопеременных рядов.
- •6. Действия над рядами. Сумма и произведение рядов.
- •7. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда.
- •8. Равномерная сходимость. Мажорантный признак Вейерштрасса.
- •9. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости. Ряд Тейлора.
- •10. Ряд Фурье. Условие поточечной сходимости.
- •11.Ряд Фурье. Условие равномерной сходимости.
- •12.Представление функции в виде интеграла Фурье
- •13. Преобразование Фурье
- •14. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Предельный переход под знаком интеграла.
- •15.Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла
- •16. Г- и в- функции Эйлера и их основные свойства.
- •17.Двойной интеграл. Теорема о среднем.
- •18. Сведение двойного интеграла к повторному.
- •19. Приложения двойного интеграла.
- •20. Замена переменных в двойном интеграле.
- •21.Тройной интеграл. Приложения тройного интеграла.
- •22.Сведение тройного интеграла к повторному.
- •23.Замена переменных в тройном интеграле.
- •24.Криволинейные интегралы первого и второго рода.
- •25.Теорема Грина.
- •26.Поверхностные интегралы первого и второго рода.
- •27.Теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса.
- •28.Элементы теории поля. Дифференциальные векторные операции.
20. Замена переменных в двойном интеграле.
Рассмотрим двойной интеграл
где
область (D) ограничена
кусочно-гладким контуром (S),
а функцияf(x,y)
непрерывна в этой области. Предположим,
что область (D) связана
формулами
.
Интегральная сумма
,
,
где
-
некоторая определенная точка области
.
Получим
.
Точка
берется
в области
произвольно,
пользуясь этим получим:
.
Тогда сумма примет вид
,
которая, очевидно, является интегральной
суммой для интеграла
.
Таким образом,
.
21.Тройной интеграл. Приложения тройного интеграла.
Пусть
в некоторой пространственной области
(V) задана функцияf(x,y,z).
Разобьем эту область на конечное число
частей.
В пределахi-го элемента
возьмем произвольные точки
,
значение ф-ции в этой точке
умножим
на объем
и
составим интегральную сумму
.
Конечный предел этой суммы при стремлении
к нулю наибольшего из диаметров всех
областей
называется
тройным интегралом функции в области
(V), если он непрерывен,
конечен и не зависит от количества и
диаметра разбиений. Обозначение
.
Св-ва тройных интегралов:
1)Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых фунецией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.
2)Если
(V)=(V')+(V''),
то,
причем из существования интеграла слева
вытекает существование интегралов
справа и наоборот.
3)Если
k=const, то
4)
Если выполняется неравенство
, то
Имеет место неравенство
Если функция удовлетворяет неравенству
, то
,
иными
словами, имеет место теорема о среднем
значении
.
Механические приложения:
Обозначим
через
плотность
распределения масс в произвольной точке
тела (V), явл. Функцией от
координат точки. Для величины всей массы
будем иметь
.
Статические
моменты:
.
Координаты
центра тяжести:
,
,
.
В
случае однородного тела:
,
,
.
Моменты
инерции относительно осей координат:
,
,
.
Относительно
координатных плоскостей:
,
,
.
Пусть
массы, заполняющие тело (V),
оказывают притяжение на точкупо
закрну Ньютона. Сила притяжения со
стороны элементаdmмассы
имеет на оси координат проекции
,
,
,
где
-
расстоение элемента до точкиA.
Получим:
,
,
.
Аналогично определяется и потенциал
тела на точку:
.
22.Сведение тройного интеграла к повторному.
Если
функция f(x,y,z)
определена в области (V),
то вместо неё следует ввести функциюf*(x,y,z),
определенную в объемлющем (V)
прямоугольном параллелепипеде (T),
полагаяf*(x,y,z)=f(x,y,z)
в (V) иf*(x,y,z)=0
вне (V). Пусть тело (V)
содержится между плоскостямии
каждой параллельною им плоскостью,
отвечающей фиксированному значениюx,
пересекается по некоторой фигуре,
имеюшей площадь, обозначим её проекцию
на плоскостьyz
.
Пусть, далее, тело ограничено снизу и
сверху пов-тями
проектирубщимися
на пл-тьxyв некоторую
фигуру (D), ограниченной
кривой (K). Имеем:
.
Если область (D) представляет
собой криволинейную трапецию, ограниченную
кривыми
и
прямыми
,
то, заменяя двойной интеграл повторным,
получим
23.Замена переменных в тройном интеграле.
Пусть
между областями (D) ипространствxyzи
существует
соответствие. Покажем, что имеет место
равенство:
где
.
Разложив кусочно-гладкими поверхностями
области (D) и
на
элементарные части
,
получим
,
где
-
некоторая точка области
,
не зависящая от нашего выбора. Возьмем
соответствующую точку
области
,
т. е. положим
и
составим интегральную сумму для первого
из интегралов
.
Подставив соответствующие значения,
придем к сумме
,
которая, очевидно, является условием
для второго интеграла.