3. Признаки сравнения знакопостоянных рядов.

Теорема: Пусть , тогда

1)Если ряд сходится, то и рядсходится;

2. Если ряд расходится, то расходится и ряд.

Следствие. Пусть и. Тогда:

1. Если ряд сходится и, то сходится и ряд;

2. Если ряд расходится и, то расходится и ряд.

В частности, если, то рядыисходятся и расходятся одновременно.

Доказательство теоремы: Если ряд сходится, т. е. Имеет конечную сумму, и, то для любогоn=1,2,... выполняется неравенство. Следовательно,, а это означает, что рядсходится. Если рядрасходится, то и расходится и ряд, так как, если бы он сходился, то в силу уже доказанного расходился бы и ряд.

4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда.

Если последовательность убывает и стремится к нулю, т. е.(1), то рядсходится, причем, если,, то при любомn=1,2,... выполняется неравенство. Из условия (1) следует, что, в силу чего члены ряда поочередно. Ряды видаприназываются знакочередующимися.

Абсолютно сходящиеся ряды:

Ряд ,называется абсолютно сходящимся, если ряд, членами которого являются абсолютные величины членов данного ряда, т. е.сходится.

Критерий Коши абсолютной сходимости ряда: Для того, чтобы ряд абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое, что для всех номерови всехвыполнялось бы неравенство.

Теорема: Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Доказательство:

Следует из неравенства . В самом деле, в силу критерия Коши абсолютной сходимости ряда для любогосуществует такое, что для всехи всехправая часть неравенства меньше. Следовательно, и левая часть этого неравенства окажется меньше, т. е. для рядавыполняется критерий Коши сходимости рядов и потому он сходится.

Условно сходящиеся ряды:

Сходящийся, но не абсолютно сходящийся ряд называется условно сходящимся рядом. Для ряда с действительными членами обозначим черезисоответственно его неотрицательные и отрицательные члены, взятые в том же порядке, в котором они расположены в ряде. Если одно из множествилиокажется конечным, то, отбросив в ряде соответствующее конечное число первых членов, получим остаток ряда, члены которого будут неотрицательны или неположительны и, следовательно, во втором случае неотрицательны после умножения всех членов на -1. В обоих случаях, если исходный ряд сходится, то он очевидным образом абсолютно сходится. Таким образом, если рядусловно сходится, то оба множестваибесконечны, т. е. являются последовательностями. Рассмотрим ряды,. Согласно определению члены этих рядов неотрицательны, поэтому, если они расходятся, то,.

Лемма: Если ряд условно сходятся, то рядыирасходсятся.

5. Признаки Лейбница, Абеля и Дирихле сходимости знакопеременных рядов.

Теорема (Лейбниц): Если последовательность убывает и стремится к нулю, т. е.(1), то рядсходится, причем, если,, то при любомn=1,2,... выполняется неравенство.

Лемма (Абель): Если для всех j= 1,2,...,n-1 выполняются неравества, и для всехj= 1,2,...,n— неравенства. то.

Доказательство:

мы воспользовались здесь равенством.

Теорема( признак Дирихле):

Если последовательность монотонная и, а последовательность частичных сумм рядаограничена, то рядсходится.

Доказательство: Из ограниченности последовательности частичных сумм , рядаследует, что существует такое число, что для всехn=1,2,... выполняются неравенстваи, следовательно, для всехn=2,3,... и всехp=0,1,... - неравенства. Зафиксируем произвольно. В силу условия существуется такой номер, что для всехимеет место неравенство. Поэтому для всехи всехp=0,1,... будем иметь, т. е. рядудолетворяет критерию Коши схоидмости рядов и, следовательно сходится.

Теорема( признак Абеля): Если последовательность ограничена и монотонна, а рядсходится, то сходится и ряд.

Доказательство: Из ограниченности и монотонности последовательности следует существование конечного предела, и потому последовательностьмонотонная и стремится к нулю. Из сходимости же рядаследует, что последовательностьего частичных суммограниченная. Теперь имеем. Второй ряд в правой части равенства сходится по условию теоремы, а первый — в силу признака Дирихле. Поэтому и сходится ряд в левой части равенства.