2.Пространство основных и обобщенных весовых функций.

2.1. Основные весовые функции. Весовые интегральные преобразования ,. Некоторые операции в пространстве

Введем основные и обобщенные весовые функции, определенные на отрезке . В качестве весовой функции будем использовать функцию, принадлежащуюи удовлетворяющую условиям:

при ,

,

,

,

.

α

0

1

t

Рассмотрим функцию:

. 32232\* MERGEFORMAT (.)

Т.к. функция является монотонной, то существует обратная к ней функция

Таким образом, взаимно однозначно отображаетна

Для некоторой функции ,определим функциюпо формуле [3]:

, 33233\* MERGEFORMAT (.)

где обратная функция к функции.

. 34234\* MERGEFORMAT (.)

Возьмем функцию и, для этих функций будут справедливы неравенства:

,

,35235\* MERGEFORMAT (.)

Действительно:

Дадим определение пространства основных весовых функций.

Функция принадлежит пространствуесли соответствующая функцияпринадлежит, т.е., если, или, где- оператор, заданный следующим образом:

.

Последовательность функций в множествепри, если последовательность функциисходится кв пространствепри. Множество, наделенное топологией по предыдущему определению, будем называть пространством основных весовых функций и обозначать.

На этом множестве вводиться семейство норм, зависящих от следующим образом:

.

;

;

;

.

Изучены некоторые непрерывные операции в пространстве основных весовых функций .

Будем говорить, что функция ,принадлежит к классу, если функцияи все ее производные имеют степенной рост.

Функция принадлежит классу, если функцияпринадлежит классупо переменной.

1)Опереция умножения на функцию класса

Пусть , тогда.

Функция по переменной;

.

С учетом свойств пространств можно сказать, что операция умножения является линейной и непрерывной из в.

2) Весовое дифференцирование.

На функциях определим операцию весового дифференцированияпо формуле:

,

где ,,,

Действительно:

.

2.2 Весовое преобразование Фурье.

Для определяем весовое преобразование Фурье [3]

,

где -обычное преобразование Фурье по переменной, а операторопределен на функцияхпо формуле:

где -обратная функция в функции.

Определим весовое преобразование через интеграл:

Из определения (множество бесконечно дифференцируемых функций переменной, убывающих быстрее любой отрицательной степени) и свойств преобразования Фурье наследует, чтоявляется линейной непрерывной операцией изна.

Обозначим . С помощью обратного преобразования Фурье находим:. Если последнее равенство разделим наи сделаем замену переменных, то получим:

.

Таким образом, преобразование отображает взаимнооднозначнона. Кроме того, учитывая свойства обычного преобразования Фурье, можно сказать, что операцияявляется линейной и непрерывной изна, а- линейной и непрерывной изна.

Из определения в связи весового преобразованияс обычным преобразованием Фурье вытекает, что

для любого

для любого_.

Определим теперь весовое преобразование Фурье от производной:

.

Действительно:

Используя следующую формулу определим производную от весового преобразования Фурье:

.

Действительно:

2.3. Класс весовых мультипликаторов .

Теперь введем обобщенные весовые функции определенные на отрезке .

Множество линейных непрерывных функционалов над пространством называется множеством весовых обобщенных функций.

Функционалы над обозначаютсягде.

Сходимость в определяется как слабая сходимость функционалов: последовательность обобщенных функцийизприсходится вк обобщенной функции, если для любой:при.

Линейное множество с введенной на нём сходимостью называется пространством весовых обобщенных функций.

Пространство -пространство линейных и непрерывных функционалов надявляется сопряженным к пространству.

Определим операторы наинапо формулам:

,

где функционал, стоящий в правой (левой) части первого (второго) равенства означает функционал над

Докажем предыдущие равенства через интегралы.

Знаем:

Действительно:

Очевидно, что непрерывная операция изна.

Определим преобразование Фурье напо формуле:

,

т.е. это напо формуле:

, т.е. .

и -прямое и обратное преобразование Фурье пространства обобщенных функций.

Одним из свойств прямого и обратного преобразования Фурье в является легко доказываемое равенство:

в ,в.

Пусть , где. Обозначим:

,

где исоответственно, прямое и обратное преобразование Фурье в пространстве обобщенных функций.

Обозначим через . Будем говорить, что функцияпринадлежит классу весовых мультипликаторов[4] в пространствах, если для любой функциисправедлива оценка:

.

Теорема (о мультипликаторах). Если функция имеет непрерывные частные производные до порядкавключительно для всех, и существует положительное число, такое, что для всх мультииндексов, гдепринимают значения 0 и 1,

,

тогда функция принадлежит классуи

,

где постоянная зависит лишь оти.

Доказательство. Учитывая, что

, .

Подставляя значения и используя рассуждения, приведенные в теореме, запишем следующую систему равенств

Из условия теоремы следует, что является мультипликатором в. Следовательно, из теоремы С.Г. Михлина- П. И. Лизоркина имеем:

,

где постоянная зависит лишь оти. Отсюда окончательно получаем:

.3631Equation Chapter (Next) Section 3