1.1.6. Преобразование Фурье функции нескольких переменных.

Пусть теперь -функция на-мерном евклидовом пространстве, причем, где-координаты точки в некоторой системе координат. Функцияназывается абсолютно интегрируемой, если она интегрируема по любому шару,. Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функцииопределяется формулой

, 25125\* MERGEFORMAT (.)

которая по своему виду совпадает с формулой 14, но теперь ,-означает скалярное произведение, т.е., где, знак интеграла, как мы уже говорили выше, означает интегрирование по всему.

Преобразование Фурье любойявляется непрерывной ограниченной функцией и стремится к нулю при.

Если функции иабсолютно интегрируемы, то функцияимеет непрерывную частную производнуюи

. 26126\* MERGEFORMAT (.)

Доказательство этих утверждений получается почти дословно повторен соответствующих доказательств для одномерного случая.

Пусть абсолютно интегрируемая функция при всехимеет частную производную, которая является непрерывной и абсолютно интегрируемой функцией. В таком случае

27127\* MERGEFORMAT (.)

Доказательство формулы 127 аналогично доказательству формулы 111, поскольку -мернуы интеграл

можно свести к повторному и тогда в интеграле по переменному можно будет произвести те же самые преобразования, которые были использованы при вводе формулы 111.

Определение пространства и сходящейся последовательностидля функций многих переменных получается, если индексыив приведенных выше определениях для случая оного переменного заменить на мультииндексы,, считая, что

, .

Если , то для любых

. 28128\* MERGEFORMAT (.)

Действительно, , а ограниченность функцийустанавливается с помощью этого же рассуждения, что и неравенство 128.

Так как -мерный интегралв том и только том случае, когда, то выбирая в 128 в качествечисло, получим, что функцияабсолютно суммируемы. В частности, абсолютно суммируема и сама функция.

Далее, точно так же, как и в случае одного переменного, доказывается, что для любой функциятак же принадлежит.

Для функции верна формула обращения преобразования Фурье

.

Например, для случая функций от двух переменных

.

Действительно, переходя от кратных интегралов к повторным, переставляя порядки интегрирования, что законно, так как иабсолютно интегрируемы, и пользуясь формулой обращения для функций одного переменного, получим, что

Аналогичным образов формула обращения доказывается в случае любого числа переменных. С помощью формулы обращения, как и в случае одного переменного, для функций многих переменнх устанавливается.

Теорема. преобразование Фурье осуществляется взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение пространства на все.

Отметим еще, что для функций из справедлива формула

, 29129\* MERGEFORMAT (.)

которая следует из 128.

1.2. Мультипликаторы Фурье в пространстве

Введем понятие мультипликатора[1].

Рассмотрим функцию , пусть- прямое преобразование Фурье, тогда если, то

, где ,

и, следовательно, определено произведение:

По определению функция назевается мультипликатором в, если

1)

2)выполняется

, 30130\* MERGEFORMAT (.)

где - константа, не зависимая от, а-обратное преобразование Фурье, т.е. дляи

, где .

Возьмем бесконечно дифференцируемые функции и функцию. Пусть выполняется условиетогда из 130 следует, что

, при .

Из последнего неравенстве следует, что существует функция, к которой при в смыслестремится.

Можно записать: (данное равенство получается из теоремы о преобразовании Фурье свертки.

Очевидно ,, где- та же констванта, что и в соответствующем равенстве для.

Множество таких функций будем обозначать .

Зададим вектор , гдеили. Носителем векторабудем назвать множествотех индексов, для которых.

Теорема. Пусть на задана функция, обладающая свойствами: каков бы ни был вектор, производнаясуществует и неравенства в любой точке,, где, и подчиняется неравенству

Тогда - мультипликатор, т.е. существует независимая отиконстантатакая, что

, ,.

Заметим, что т. к. удовлетворяет указанному в теореме свойству и при, то ограничена наи непрерывна, разве что за исключением точек, принадлежащихкоординатным плоскостям. Поэтому на,- измеримая функция, и в то же время, обобщенная.

312Equation Section (Next)