1.1.2. Преобразование Фурье производной.

Пусть абсолютно интегрируемая функция имеет производную при всех, причемнепрерывна и абсолютно интегрируема. В таком случаеи преобразование Фурье функциисвязаны так:

. 11111\* MERGEFORMAT (.)

Доказательство.

Действительно, с помощью интегрирования по частям получаем, что

так как , то остается показать, чтопри.

Поскольку , то в силу предложения об абсолютной интегрируемостифункцияимеет пределы прии. Легко увидеть, что хотя бы один из пределов отличен от нуля, то функцияне может быть абсолютно интегрируемой, следовательнопри. Тем самым формула 111 доказана.

Формула 111 показывает, что при преобразовании Фурье операция дифференцирования переходит в число алгебраическую операцию умножения на функцияэто открывает широкие возможности для применения преобразования Фурье при исследовании дифференциальных операторов.

1.1.3. Преобразование Фурье убывающих функций.

Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функцииявляется ограниченной непрерывной функцией, стремящейся к нулю при. Формальное дифференцирование по переменномуинтеграла 14, определяющего, приводит к следующему выражению:

Предположим, что функция абсолютно интегрируема, тогда этот интеграл, зависящий от параметра, равномерно сходится.

Применяя теорему о дифференцировании по параметру несобственных интервалов получим, что функция имеет производную и

Так как слева стоит преобразование Фурье функции , то мы получим формулу

12112\* MERGEFORMAT (.)

которая показывает, что операция умножения на переходит после преобразования Фурье в операцию. Если вместо с функциейабсолютно интегрируемыми являются и функции, то интеграл в 14 можно дифференцироватьраз.

Таким образом, чем более сильные условия убывания на бесконечности мы накладываем на функция тем белее гладкая получается функция.

1.1.4 Формула обращения преобразования Фурье

Часто возникает такая ситуация, что мы не знаем самой функции f(x), но можем найти В таком случае возникает задача обращения преобразования Фурье , то есть задача о вычислении функцииf(x) в точке x по известной функции . Следующая теорема дает решение этой задачи при дополнительном предложении о существовании производной функциив точке.

Теорема 1. Если функция абсолютно интегрируема и существует производная, то

.

Доказательство. Положим

.

Меняя порядок интегрирования в последнем интеграле, получим, что

. 13113\* MERGEFORMAT (.)

Поскольку

.

Возможность изменения порядка интегрирования легко обосновать, используя теоремы математического анализа о перемене порядка интегрирования в кратных интегралах.

Прежде, чем продолжать дальше доказательство, заметим, что для любой абсолютно интегрируемой функции

14114\* MERGEFORMAT (.)

и прив силу леммы 1.

Если мы положим,

то из 114 получим, что при

. 15115\* MERGEFORMAT (.)

Если же положим

то из 114 получим, что при

16116\* MERGEFORMAT (.)

Абсолютная интегрируемость легко проверяется с помощью критерия интегрируемости, если заметить, что в силу нашего предположения о существовании производнойфункцияимеет пределприи, следовательно, ограничена в некоторой окрестности точки.

Из соотношений 113, 115, 116 мы получаем, что при

.

Остается заметит, что при

,

и при

,

причем несобственный интеграл по всей оси сходится и равен.

Следствие. Если выполнены условия теоремы и, кроме того, функция абсолютно интегрируема, то

17117\* MERGEFORMAT (.)

Формула 117 дает решение задачи обобщения преобразования Фурье. В связи с этим для абсолютно интегрируемой функции функцию

называется обратным преобразованием Фурье от .

Легко видеть, что

18118\* MERGEFORMAT (.)