ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1) Доказать,
что если
,
то
Вытекает
ли из существования
существование
?
Указание. Доказать и использовать неравенство
Доказать, что последовательность
расходится.Сформулировать на языке «
»
утверждение: «ЧислоА
не
является пределом в точке
функции
,
определенной в окрестности точки
».
4)Доказать,
что если непрерывная
функция,
то
есть
также непрерывная функция. Верно ли
обратное утверждение?
5) Сформулировать
на языке «
»
утверждение:
«Функция
,
определенная в окрестности точки
,
не является
непрерывной в этой точке».
6)
Пусть
,
, а
не
существует.
Доказать что
не
существует.
Указание. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного.
7) Пусть
функция
имеет
предел в точке
.
а функция
не
имеет предела. Будут ли существовать
пределы:
а)
;
б)
?
Рассмотреть
пример:
8) Пусть
,
а функция
бесконечно
большая при
.
Доказать, что произведение
является
бесконечно
большой функцией при
9)
Является
ли бесконечно большой при
функция
?
10)
Пусть
и
при
Доказать,
что если
не
существует, то
тожене
существует.
РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача
1. Доказать,
что
(указать
).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
31.
.
Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача
7 . Доказать
(найти
),
что:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача
8 . Доказать,
что функция
непрерывна
в точке
(найти
).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 9 . Вычислить пределы функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 10 . Вычислить пределы функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 11 . Вычислить пределы функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 12 . Вычислить пределы функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 13 . Вычислить пределы функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 14 . Вычислить пределы функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 15. Вычислить пределы функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 16. Вычислить пределы функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30
31.
Задача 17. Вычислить пределы функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 18. Вычислить пределы функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 19. Вычислить пределы функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 20. Вычислить предел функции или числовой последовательности.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Упражнения. Вычислить пределы функций:
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
.
7)
.
8)
. 9)
.
10)
.
11)
.
12)
.
13)
.
14)
.
15)
.
16)
.
17)
.
18)
.
19)
.
20)
.
21)
.
22)
.
23)
.
24)
.
25)
.
26)
.
27)
.
28)
.
29)
.
30)
.
31)
.
32)
.
Упражнения. Используя замечательные пределы, принцип замены и таблицу эквивлентных б.м., найти пределы функций.
33)
,
34)
,
35)
,
36)
,
37)
,
38)
,
39)
,
40)
,
41)
,
42)
,
43)
,
44)
,
45)
,
46)
,
47)
,
48)
, 49)
,
50)
,
51)
,
52)
,
53)
.
Упражнения. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:
54)
.
55)
56)
.
57)
.
58)
.
59)
.
60)
61)
.
62)
63)
64)
.
65)
.
66)
.
67)
.
68)
.
69)
.
70)
.
71)
.
72)
.
Контрольная работа Задача 1
– 1.12) Сформулировать определение предела функции в точке
Исходя из определения доказать, что
1.1.
.
1.2.
.
1.3.
.
1.4.
.
1.5.
.
1.6.
.
1.7.
.
1.8.
.
1.9.
1.10.
.
1.11.
.
1.12.
.
(1.13 – 1.20) Сформулировать определение предела функции при
.
Исходя из определения доказать, что
1.13.
.
1.14.
.
1.15.
.
1.16.
.
1.17.
.
1.18.
.
1.19.
.
1.20.
.
(1.21
–1.30) Сформулировать определение
предела функции при
.
Исходя из определения предела доказать,
что
1.21.
.
1.22.
.
1.23.
.
1.24.
.
1.25.
.
1.26.
.
1.27.
.
1.28.
.
1.29.
.
1.30.
.
Задача 2
Найти
предел функции при разных значениях
.
2.1.
,
а)
=
1 ; б)
-1
; в)
.
2.2.
, а)
=
1 ; б)
-2
; в)
.
2.3.
, а)
=
2 ; б)
4
; в)
.
2.4.
, а)
=
-1 ; б)
5
; в)
.
2.5.
, а)
=
2 ; б)
-1
; в)
.
2.6.
, а)
=
1 ; б)
-2
; в)
.
2.7.
, а)
=
2 ; б)
-4
; в)
.
2.8.
, а)
=
2 ; б)
-3
; в)
.
2.9.
, а)
=
1 ; б)
-1
; в)
.
2.10.
, а)
=
1; б)
3
; в)
.
2.11.
, а)
=
2 ; б)
1
; в)
.
2.12.
, а)
=
2 ; б)
-1
; в)
.
2.13.
, а)
=
1 ; б)
2
; в)
.
2.14.
, а)
=
1 ; б)
-5
; в)
.
2.15.
, а)
=
-1 ; б)
7
; в)
.
2.16.
, а)
=
-1 ; б)
3
; в)
.
2.17.
, а)
=
2 ; б)
6
; в)
.
2.18.
, а)
=
-1 ; б)
8
; в)
.
2.19.
, а)
=
1 ; б) 
9
; в) 
.
2.20.
, а)
=
2 ; б) 
10
; в) 
.
2.21.
, а) 
=
1 ; б) 
2
; в) 
.
2.22.
, а) 
=
-1 ; б) 
-2
; в) 
.
2.23.
, а) 
=
-1; б) 
1;
в) 
.
2.24.
; а) 
1
; б) 
-1;
в) 
.
2.25.
; а) 
1
; б) 
3
; в) 
.
2.26.
; а) 
-1
; б) 
1
; в) 
.
2.27.
; а) 
1
; б) 
2
; в) 
.
2.28.
; а) 
1
; б) 
3
; в) 
.
2.29.
; а) 
1
; б) 
4
в) 
.
2.30.
; а) 
1
; б) 
5
; в) 
.
