Из формулы (6) при получаем

Этот алгоритм называется явным методом Эйлера. Здесь .

Метод Тейлора второго порядка.

При из формулы (6) получаем

где

3. Метод Рунге-Кутта.

Метод Рунге-Кутта имеет тот же порядок точности, что и метод Тейлора, но исключает необходимость вычисления значений частных производных от правой части дифференциального уравнения . Основная идея метода состоит в замене функциив формуле (6) другой функцией, не требующей вычисления частных производных оти удовлетворяющей условию

где - константа, не зависящая от. Таким образом, алгоритм метода Рунге-Кутта имеет вид:

где удовлетворяет условию (9). Очевидно, метод (10) имеет ту же алгоритмическую ошибку, что и метод Тейлора. Алгоритм (10) принято называтьметодом Рунге-Кутта порядка .

Функциюразыскивают в виде:

где

В формулах (11) коэффициенты инаходятся из условия (9).

Метод Рунге-Кутта первого порядка.

При получаем из (11)

Сравнивая с, немедленно получаем из условия (9), что. Таким образом метод Рунге-Кутта первого порядка совпадает с явным методом Эйлера:

Метод Рунге-Кутта второго порядка.

При получаем из (11)

Разлагая во втором слагаемом в (12) по формуле Тейлора в точкеполучаем

Подставляя (13) в (12), имеем

Сравниваяи (14), получаем из условия (9) нелинейную систему уравнений для определения коэффициентов:

Отсюда следует, что для различных существует целое семейство методов Рунге-Кутта второго порядка с коэффициентамии

:

Приведем примеры алгоритмов метода Рунге-Кутта второго порядка.

Метод Хьюна (модифицированный метод трапеций).

В этом случае ,Из (15) получаем алгоритм метода Хьюна

Модифицированный метод Эйлера.

В этом случае ,Из (15) получаем алгоритм модифицированного метода Эйлера

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Наиболее часто в вычислительной практике используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка, алгоритм которого определяется формулами

где

Отметим, что если правая часть дифференциального уравнения не зависит от, то формула (18) совпадает с квадратурной формулой Симпсона. (Решение задачи Коширавносильно вычислению интеграла).

Замечание. Метод (18) часто называют просто «методом Рунге-Кутта» без всяких указаний на порядок. Локальная алгоритмическая ошибка этого метода не превосходит, где- константа, не зависящая от. Однако оценитьне просто. Это существенный недостаток метода Рунге-Кутта. Грубое оценочное правило выбора шагапредложено Коллатцом: если для некоторой точкивеличинабольше нескольких сотых, то шагуменьшают.

4. Общий одношаговый метод.

Метод, алгоритм которого определяется формулой

где - функция аргументовзависит от правой части дифференциального уравнения, называетсяобщим одношаговым методом.

Очевидно, что методы Тейлора и Рунге-Кутта являются частными случаями общего одношагового метода.

Обозначим через - решение уравнения

с начальным условием.

Теорема(оценка глобальной погрешности общего одношагового метода).

Пусть выполнены следующие условия:

1. Функция определена и непрерывна в областии существует константа, не зависящая оти, такая, что в области

2. Существует константаи целоетакие, что в области

где - решение уравненияна отрезке, удовлетворяющее начальному условию.

Тогда для глобальной ошибки метода (19) справедлива оценка

где,-локальная ошибка округления на-ом шаге.

Из (20) следует, что глобальная ошибка общего одношагового метода (19) состоит из трех частей:

1. ошибка при вычислении начального условия,

2) суммарная алгоритмическая ошибка метода, характеризуемая величиной , убывающая с уменьшением,

3) ошибка округления, представленная членом , который растет с уменьшением.

Из (20) следует, что попытка уменьшить алгоритмическую ошибку метода приводит к уменьшению и, следовательно, к увеличению ошибки округления. Кроме того, глобальная ошибка растет с увеличением длины интервала, на котором разыскивается решение дифференциального уравнения.