Для студентов / Лекции / (2)ВЕД / (2)Означення основних величин в Електродинаміці

2. Означення основних величин в Електродинаміці

Основна увага в Електродинаміці зосереджується на встановлені зв’язку між розподілом зарядів і токів та напруженостями електричного і магнітного полів. Розглянемо означення цих величин, а також тих величин, які є близькими до них.

а) Напруженості електричного і магнітного полів

Вектор напруженості електричного поля визначається співвідношенням:

, (1)

де позначає силу, яка діє на заряд в точці . Тобто, дорівнює силі, яка діє на одиничний позитивний заряд, що знаходиться в точці .

Вектор напруженості магнітного поля визначається більш складним співвідношенням:

, (2)

де є сила, що діє на заряд , який рухається зі швидкістю . Коефіцієнт пропорційності є властивим для системи фізичних одиниць СГС. При використанні інших систем вимірювання фізичних величин коефіцієнт пропорційності буде змінюватись відповідним чином. Означенню напруженості магнітного поля можна надати іншого вигляду, якщо розглянути взаємодію з магнітним полем елементу струму лінійного провідника:

. (3)

Тут , - довжина елементу провіднику, а - одиничний вектор, направлений вздовж дотичної до провідника. Повна сила, яка дії на провідник довжини , дорівнює:

. (4)

Незважаючи на різний зовнішній вигляд означень (2) і (3), вони тісно пов’язані між собою. Дійсно, будемо виходити з того, що тік в провіднику формується рухом електронів. Нехай всі електрони рухаються з однаковою швидкістю . Тоді, , де - заряд електрону, - густина електронів в провіднику, - площа його поперечного перерізу. З урахуванням цього, формулу (3) можна переписати у вигляді:

,

де - число електронів провідника, які припадають на його елемент довжини (- об’єм елемента провідника). Добуток є зарядом електронів в елементі довжини провідника. З цього випливає, що вирази (2) і (3) є повністю тотожними.

Треба зауважити, що розв’язок рівняння типу

відносно є неоднозначним. Дійсно, розв’язки і задовольняють одному й тому ж рівнянню при довільних значеннях. Так само, рівнянню (2) задовольняють і при довільному . Для того, щоб виділити незалежну від швидкості частину напруженості магнітного поля достатньо розглянути граничний випадок:

.

Зазначимо, що формули (1) і (2) визначають напруженості електричного і магнітного полів, які не змінюються з часом, тобто є статичними. В більш загальному випадку сила, яка діє на рухомий заряд, визначається сумою сил електричного і магнітного походження, які задаються формулами (1) і (2):

. (2.5)

б) Перетворення і при просторовій інверсії

Звернемо увагу на те, що вектор напруженості електричного поля належить до полярних векторів, а вектор напруженості магнітного поля – до аксіальних векторів. Але, як правило, називають просто вектором, а - псевдовектором. Різниця між ними полягає тільки у відмінності законів перетворення по відношенню до операції інверсії, яка виконується оператором . Дія на радіус-вектор точки визначається наступним чином:

, (6)

або в компонентах

. (7)

Тобто, оператор змінює знак компонентів радіус-вектора на протилежний.

Згідно закону Ньютона, сила, яка дія на матеріальну точку маси , дорівнює:

.

Маса точки є скалярною величиною, яка є інваріантною відносно дії оператора :

. (8)

Разом з тим,

. (9)

Тут враховано, що операції інверсії просторових координат і диференціювання за часом є перестановочними: . З (8) і (9) випливає, що сила є полярним вектором:

, (10)

Заряд , подібно до маси точки , є інваріантом відносно операції інверсії. Тому, з (1) і (10) випливає, що напруженість електричного поля також є полярним векторним:

. (11) Застосуємо оператор інверсії до лівої і правої частин рівняння (2):

, (12)

тобто оператор інверсії застосовується до кожної функції, яка стоїть справа від нього. Оскільки , то з (12) випливає, що

. (13)

Це рівняння і є ознакою того, що напруженість магнітного поля є псевдовектором (його компоненти під дією оператора інверсії залишаються незмінними).

Неважко бачити, що оператор набла є полярним векторним оператором:

. (14)

Діючи так само, як при встановлені трансформаційних властивостей сили, можемо впевнитись в справедливості наступної послідовності рівнянь:

. (15)

Вони дозволяють заключити, що є псевдоскаляром, а , на відміну від , є полярним вектором. А от стає псевдовектором.

Підкреслимо, що закони перетворення векторів і псевдовекторів відносно зсувів і поворотів системи координат є повністю еквівалентними.

в) Означення густин зарядів і токів

Зупинимось на означенні густин зарядів і токів. З фізичної точки зору густина заряду визначається як заряд, який приходиться на одиницю об’єму. Густини зарядів в просторах розмірності визначаються співвідношеннями:

. (16)

Густина заряду сукупності дискретних зарядів визначається формулою:

, (17)

де - дельта функція, а - радіус-вектор го заряду. В цьому випадку, як бачимо, густина заряду дорівнює нулю всюди, окрім точок знаходження зарядів. В самих цих точках густина заряду дорівнює нескінченості (на нескінченно малий об’єм приходиться скінчений заряд). Структура формули (17) не залежить від розмірності простору, остання впливає тільки на вигляд дельта-функції і радіус-векторів.

Об’ємна густина току визначається співвідношенням:

. , (18)

де

- (19)

є тік, який протікає через одиничну площадку, перпендикулярну лініям току, а є одиничний вектор, дотичний до лінії току, яка проходить через точку . Додамо, що величину , тобто тік електронів через поперечній переріз лінійного провідника, прийнято називати струмом.

У двовимірному просторі формули (18) і (19) змінюються наступним чином:

, (18)

де

- (19)

є тік, який протікає через одиничний відрізок, перпендикулярний лініям току.

В багатьох випадках, коли тік утворюється поступальним рухом зарядів, його густину можна представити у вигляді:

, , (20)

г) Фізичні розмірності основних характеристик електромагнітного поля

Зупинимось коротко на фізичних розмірностях основних величин, які використовуються в електродинаміці. Зазначимо, що напруженості електричного і магнітного полів мають однакові фізичні розмірності:

,

що безпосередньо випливає з означень (1) і (2). В подальшому розмірності величин будемо задавати в одиницях , яким відповідають довжина, час і маса. Це має значні переваги, оскільки не прив’язує нас до конкретної системи вимірювання величин. Розмірність сили зразу ж випливає із другого закону Ньютона:

. (21)

Для знаходження розмірності заряду звернемось до закону Кулона:

.

Не торкаючись деталей позначень, ми бачимо, що

. (22)

Розмірності і випливають з формули (1):

. (23)

Розмірність густини заряду в три- і двовимірних просторах дорівнює:

, . (24)

З (20) знаходимо:

, . (25)

Струм має розмірність:

. (26)