Диференціальне числення ФБЗ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

= (2x − 2 z )

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

813.81 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

	z′		= 2x − y , z′ = −x + 2 y , z′ (M ) = z′ (M ) = 1 .
	x				y	x	y
2 ( " l :

	l	= 36 + 64 = 10;				cosα = 0, 6;	cos β = 0,8 .

# :
	∂z			= 1 0, 6 + 1 0, 8 = 1, 4 .
	∂z

	∂l
			M			u = x2 − 2xz + y2 A(1; 2; −1)
			M
2.			2 (

" A B (2; 4; − 3) .

2 ( l = AB ( " : l = AB = {1; 2; − 2} = i + 2 j − 2k , l = 1 + 4 + 4 = 3,

cosα =	1	,	cos β =	2	,	cos γ = −	2	.

3			3			3

2 ( " A :

= 4

∂u

= 2 y

y =2 = 4 ,

∂u

= −2 x

x =1

= −2 .

∂y

∂z

# ' (3) ,:

∂u

+ 4

− 2

−

∂l

) *

∂u

> 0 , 6 " " ,.

∂l

3. 2 ( u = e− xy M ( x , y

)

x2 + y2 = R2

" ( .

& n

, ! , "

( x0 , y0 ) , , , {x0 , y0 }

– ,

" ( , " ( ( ( . 8).

$ . 8.

. " n '' *:

cos α =

, cosβ =

∂u

= − y e− x0 y0 ,

∂u

= −x e− x0 y0 .

∂x

∂y

∂u

cos α +

∂u

cos β =

∂n

∂x

∂y

2x y

= − y e

− x y

− x e

− x y

= −

− x y

0 0

0 0 .

&, " "

, ! * .

14. % '.

$" u = f ( x, y, z) M ( x0 , y0 , z0 ) "

" l :

∂u

cos α +

∂u

cosβ +

∂u

cos γ .

(14.1)

∂l

∂x

∂y

∂z

∂u

% ": " ! " l , !

( "

∂l

(! *6 "?

2 (14.1) ,,

∂u

+ " " " (

∂l

∂u

! :

∂u

∂x

∂y

∂z

l = {cos α, cosβ, cos γ} .

∂u

. &

, * "

∂x

∂y

∂z

u = f ( x, y, z) M .

% , * " , "

uuuuuur uuur

∂u

grad u = u =

∂x

∂y

∂z

# :

∂u		uuuuuur		r
		uuuuuur		r
		= (grad u		, l ).
			M
∂l	M

2 " " ! ,:

∂u		=	uuuuuur		r	cos ϕ ,


			grad u		l

∂l	M			M
∂l	M			M

ϕ – + , l ( . 9).

$ . 9.

) * cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1,

= 1 , +:

∂u

uuuuuur

cos ϕ ,

grad u

∂l

! " l

M ', +

, " l . ),

∂u

( , *

∂l

" cos ϕ = 1 , ! ϕ = 0 , ,, " l *

! , * " " , u . % *:

	∂u		∂u		uuur		∂u	2


max		=		=	u	=

	∂l		∂( u)
l							∂x

	∂u 2		∂u 2
+		+		.

	∂y		∂z

. * + +, , ,

" * 6 " (*

∂u		uuur	> 0 ) . ) , " (6 6
		uuur
	=	u

∂( u)

" ! , * " " −grad u , !

, * " , n u = f ( x1 , x2 ,..., xn ) :

uuuuuur uuur	∂u		∂u		∂u
grad u = u =		,		,...,		.
grad u = u =		,		,...,		.
	∂x1		∂x2		∂xn

" 2- u = f ( x, y) :

uuuuuur						∂u


		∂u
grad u		=			,		.
grad u		=	∂x		,	∂y	.
	M			M
	M			M
							M

. , " , 2- ,

" " , . (, ( x, y) a

f ( x, y) = C ,

∂u

, −

∂u

. ) + " (

∂y ∂x

r uuur

∂u

(a, u ) =

−

= 0 ,

∂y

∂x

∂y

,, u " ( a , !

" ( ' f ( x, y) = C .

1. 2 ( " , u = xyz M (2,1,1) . / ,:

∂u

= yz

= 1,

∂u

= xz

= 2,

∂u

= xy

= 2 .

∂x

∂y

∂z

# :

uuuuuur

= {1, 2, 2} .

grad u

+ ,:

uuuuuur

grad u

= 1 + 4 + 4 = 3 .

. " , , * " ( " :

cos α =	1	, cos β =	2	, cos γ =	2	.

3		3		3

2. ' * " " "

h = 20 − x2 − y 2 .

% ! , " ' * h = 20 , 19 , 18 , 16 11 . ." grad h , " ( 6 , (

– * . % ! grad h M (2,1) .

$ . 10.

% ! , ( . 10):

h = 20 ;

+ y 2 = 0 – (0, 0);

h = 19 ;

+ y2 = 1 – " a = 2 , b = 1;

h = 18 ;

+ y 2 = 2 ,

y 2

= 1 –

a = 2 2 , b =

2 ;

h = 16 ;

+ y 2 = 4 ,

y 2

= 1

–

a = 4 , b = 2 ;

h = 11;

+ y 2 = 9 ,

y 2

= 1

–

a = 6,

b = 3 .

# M (2,1) + *

" ( )

h = 18 .

" ( " (, " (

" ( ( . 10). 2 (:

∂h

= −

= −1,

= − 2 y

= −2 ,

∂x

∂y

uuuuuur		= {−1; − 2},		uuuuuur

						= 1 + 4 = 5 .
grad h				grad h
		M			M

	15. + .
$" 3			' P , " " ":
F ( x, y, z) = 0 .			(15.1)

. % " " , * " P

M ( x0 , y0 , z0 ) P , " , ' "-! * , " + *

P * M ( . 11).

$ . 11.

) * M * ! , + *

P , ( , " * M , !,

+, !.

. 5 M ( x0 , y0 , z0 ) P ∂F ∂x, ∂F ∂y,

∂F∂z ' *, , ! ",

M , * " ! ' P . 5 M !

,, ! ( '' * ', M

, * " ' P .

. M ( x0 , y0 , z0 )	! P ,
P M # ! .
. $" P " ' L , " *
M . .( L " ":
x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t) .	(15.2)

# r (t) = {ϕ(t), ψ(t), χ(t)} – - * (

L . 2, " x0 = ϕ(t0 ),																	y0 = ψ(t0 ), z0 = χ(t0 ) , r (t0 ) – -
M ( x0 , y0 , z0 ) .
&
	r				d ϕ(t) d ψ(t) d χ(t)
	dr (t)		=		d ϕ(t) d ψ(t) d χ(t)
								,					,
	dt					dt		,			dt		,			dt
, L * ( , . 2
	r		)		dϕ(t				) d ψ(t						) dχ(t				)
	dr (t	0	)		dϕ(t		0		) d ψ(t					0	) dχ(t			0	)
		0		=			0			,				0		,		0
				=						,						,
	dt					dt						dt					dt

– ( L M ( x0 , y0 , z0 ) .

5 (15.2) " " (15.1), ,

+ * t , * L + * P :

F (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) ≡ 0 .

(15.3)

2 ', ' + * t :

∂F

dϕ(t)

∂F

dψ(t)

∂F

dχ(t)

≡ 0 .

∂z

∂x

∂y

2, ' * " M :

∂F

d ϕ(t0 )

∂F

d ψ(t0 )

∂F

d χ(t0 )

= 0 .

∂x

∂z

∂y

∂F

, , u = F ( x, y, z) M .

∂x

∂y

∂z

# " ( ! * M

', ':

uuuuuur

)

dr (t

grad F

= 0 .

uuuuuur

dr (t0 )

) + grad F

" (

. %

" " ! *-" L , " + * P

* M . ) + ( ! *-"

uuuuuur

" ( ( + grad F . # , "

P M + * ( , *

r uuuuuur

" , N = grad F . # .

. %, " ( 6 "

P , " " * M , , * "

P M ( . 12).

$ . 12.

5 M – ( P , (

!’" ,. ! +

. " ( + * + (

. . , 6 z = x2 + y2 , ! '

'. ( + * (

( '' * ').

' * " " 3 , " *

M ( x0 , y0 , z0 ) , * ( N = { A, B,C} :

A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ,

, , " ,

uur

uuuuuur

∂F

N = grad F

M ∂x

∂y

∂z

+ " " P M :

∂F

( x − x ) +

∂F

( y − y

) +

∂F

( z − z

) = 0 .

(15.4)

∂x

∂y

∂z

5, , " " z = f ( x, y) , " "

! , ":

z − z		=	∂f (x0 , y0 )	(x − x ) +	∂f (x0 , y0 )	( y − y ) .	(15.5)
	0
			∂x	0	∂y	0

. % " ", " M ( x0 , y0 , z0 )

P " ( , , * " .

' * " " " 3 , "

* M ( x0 , y0 , z0 ) , " ( {m, n, k} :

x − x0 = y − y0 = z − z0 , m n k

+ , " ,

uur uuuuuur

, + " " :

N = grad F

x −

y −

z −

(15.6)

∂F

∂x

∂z

∂y

5, , " " " z = f ( x, y) , " "

! , ":

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.
fx′(x0 , y0 )		f y′(x0 , y0 )
				−1

! ". .( " F ( x, y, z) = 0 , ' " " "

3- u( x, y, z) , !

F ( x, y, z) = u( x, y, z) − C = 0 .

# , ", " ( *

M ( x0 , y0 , z0 ) , ,	uur uuuuuur		uuuuuur	. # " ,
	uur uuuuuur		uuuuuur
	N = grad F		= grad u
		M		M
		M		M

u( x, y, z) M , " "

u( x, y, z) , " * M .

. 2 ( " " , "

" ":

3xy2 − 2 yz + 4xz − 4 = 0	(15.7)
M ( x0 , y0 , z0 ) , " x0 = −1, y0 > 0,	z0 = −2 .

) * M + * ,

* " " " (15.7). 2 (

3 (−1) y02 − 2 y0 (−2) + 4 (−1) (−2) − 4 = 0 .

2, ' y0 > 0 , ,: y0 = 2 ,

M (−1, 2, −2) – . 2 (:

uuuuuur

∂F

grad F

∂x

∂y

∂z

= {(3y2 + 4z)	, (6xy − 2z)	M	, (−2 y + 4x)	M	} = {4, −8, −8}.
= {(3y2 + 4z)	, (6xy − 2z)		, (−2 y + 4x)		} = {4, −8, −8}.
	M
	M

" * + " ( , ! (

(, ! *6 ( n = {1, −2, −2} . ) + " "

, (15.4), , ":

(x + 1) − 2( y − 2) − 2( z + 2) = 0 ,

" " , (15.6):

x + 1 = y − 2 = z + 2 .
1	−2	−2

16. ( + .

$" ' 2- u = f ( x, y) . .( ' *

u′	=	f ′( x, y), u′		=	f ′( x, y) . 8 *
x		x	y		y

+ , " x, y , ( + + ! '

x y ((, "). # ! + (

(u′ )′ , (u′ )′

, (u′ )′

. 8 ' * "

x x

x y

y x

2- u = f ( x, y)

' * " ":

(u′ )′

∂

∂u

= u′′

∂

(u′ )′ =

∂ ∂u

= u′′ =

∂2u

∂x

∂x2

∂x∂y

∂x

∂y

∂x

(u′ )′

∂

∂u

= u′′

∂2u

(u′ )′

∂

∂u

= u′′

∂2u

∂y∂x

y y

∂y

∂y 2

∂x

∂y

% u′′ , u′′ ' * " $ .

' * " 2- " n

u = f ( x1 , x2 ,..., xn ) :

u′′

= (u′

)′

∂2u

∂

∂u

x j xk

x j

∂x

. 2 ( 2- "

u = 5x3 − 4x2 y + 8xy2 − 3 y3 .

2 ( 1- ":

u′ = 15x2 − 8xy + 8 y2 , u′ = −4x2 + 16xy − 9 y2 .

2- ":

u′′

= 30 x − 8 y

, u′′

= −8x + 16 y , u′′

= −8x + 16 y , u′′ = 16x − 18 y .

/ !, u′′

, u′′

. & , ? 4 +

! * ' 6 , ! + *

" ' "? & * ,

,3 ( $ ). "

u = f ( x, y)		& u′				, u′	, u′′		, u′′
					x	y	xy		yx
( x , y			) , u′′	, u′′		( x , y		) , !
	0	0	xy	yx		0	0
# :
u′′	= u′′ .
xy	yx

3 ; (1843–1921) – * ( .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025144.9 Кб0ДИПЛОМНА Марінов.doc
#
20.05.2015278.02 Кб17Дипломна работа Маша Станкова 4-болг332.doc
#
01.05.2025286.21 Кб0дипломна робота текст.doc
#
01.03.2025648.7 Кб0Дипломна робота.doc
#
01.04.20251.6 Mб0Диущак Юля.doc
#
20.05.2015813.81 Кб6Диференціальне числення ФБЗ.pdf
#
20.05.20151.08 Mб9Диференціальне числення ФОЗ.pdf
#
20.05.2015237.57 Кб11ДифференцПсихолЛекции.doc
#
20.05.2015983.01 Кб245Длекции с картинками.docx
#
12.11.2019259.07 Кб2Для 3 курсу _ПС.doc(3 перших заняття).doc
#
01.05.2025114.69 Кб0Для бакалавров.doc