Диференціальне числення ФОЗ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2 x→ 0 cos ax − ax sin ax

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

		1
2. lim tg x −			.

x→	π	cos x

2

# * ∞ − ∞ . 6 0 « - 0

,»:

sin x

sin x − 1

lim tg x

−

= lim

−

= lim

x→

cos x

x→

cos x

x→

cos x

= lim

cos x

= 0 .

−sin x

x→

3. lim xsin x .

x→ +0

# * 00 . 6 0 ∞ -

' ".

lim xsin x = lim eln xsin x		lim	sin x ln x
lim xsin x = lim eln xsin x		= lim esin x ln x = ex → + 0	.
x→ +0	x→ +0	x→ +0

)! ' lim sin x ln x . 5 * 0 ∞ . 6-

x→ +0

∞ «,»:

∞

ln x

sin2 x

lim sin x ln x = lim

= lim

x→ +0

−

x→ +0

x cos x

sin x

cos x

sin2

= − lim

2sin x cos x

= 0 .

x→ +0 cos x − x sin x

) + lim xsin x = e0

= 1.

x→ +0

4. lim (cos ax)

, a,b − const .

x→ 0

/ , * 1∞ . 9 " " -

( 3 :

b lim

ln cos ax

lim (cos ax)

= lim eln(cos ax )

= lim eb ln cos ax x2

= e x → 0

x2 .

x→ 0

(− sin ax)a

ln cos ax

sin ax

: lim

cos ax

= lim

= −

lim

x→ 0

2 x→ 0 x cos ax

a2b

) + 3 " ', e− 2 .

14.( !.

«& » ' -

(. ) ( 3 ( , . .,,

(! ) " n , * " " ":

P (x) = a + a x + a x2			+ K + a	xn−1 + a xn .
n	0 1	2	n−1	n

/ + ! ' " *. " *

! 3 * * ( – + " -

". / + , , . "

4- ", , , ":

P ( x) = (((a x + a ) + a ) x + a ) x + a .
4	4	3	2	1	0

$3 ( ( , , " sin x, ln x, ex , arctg x .) , -

! 3. " ! ' " * + * -

(. ’" , ": - + * ', ! ! +, " ? 5* ', , " ( .

$" ' y = f ( x) , " ( x0 ,

n - " ', ! ' * f ( x0 ) , f ′( x0 ) , … , f ( n ) ( x0 ) .

% : ( P ( x) " n (, x
n	0

( n - " ' '' * -

" ( y = f ( x) , !:

P ( x ) = f ( x ) ,
n	0	0
P′( x ) = f ′( x ) ,
n	0	0
…
P( n−1)		( x ) = f	(n−1) ( x ) ,
n		0	0
P( n) ( x ) = f (n ) ( x ) .
n		0	0

8 ! , + ! ,

, * ! * x0 , " ! *

+ " " * y = f ( x) . 9 ( ":

P ( x) = a + a ( x − x ) + a ( x − x )2								+ a ( x − x )3 + a ( x − x )4				+
n	0			1	0	2	0	3	0	4	0
+a	( x − x )n−1 + a				( x − x )n ,
n−1	0			n		0
! " x , " x − x0 .
6 ( :
P′( x) = a + 2a ( x − x ) + 3a ( x − x )2									+ 4a ( x − x )3		+ ... +
n		1		2		0	3	0	4	0
+(n − 1)a		( x − x )n−2 + na					( x − x )n−1 ,
	n−1			0		n	0
P′′( x) = 2a			2	+ 2 3a ( x − x ) + 3 4a ( x − x )2						+ ... +
n			2			3	0	4	0
								53

+(n − 2)(n − 1)a	n−1	( x − x )n−3 + (n − 1)na ( x − x )n−2				,
	n−1		0	n	0
P′′′( x) = 2 3a + 2 3 4a ( x − x ) + ... + (n − 3)(n − 2)(n − 1)a							( x − x )n−4	+
n	3		4	0		n−1	0
+(n − 2)(n − 1)na ( x − x )n−3 ,
	n		0
…
P( k ) ( x) = 2 3Lka			+ 2 3Lk (k + 1)a		( x − x ) + ... +
n		k		k +1	0
+(n − k )(n − k + 1)L(n −1)a				( x − x )n−k +1	+ (n − k + 1)Lna ( x − x )n−k ,
			n−1	0		n	0
…
P( n−1) ( x) = 2 3L(n − 1)a				+ 2 3L(n − 1)na ( x − x ) ,
n			n−1		n	0
P( n) ( x) = 2 3L(n − 1)na .
n			n

% " x = x0 ", * -

y = f ( x) x0 :

P ( x ) = a = f ( x ) ,

P′

( x ) = a = f ′( x ) ,

P′′ ( x ) = 2a = f ′′( x ) ,

P′′′ ( x ) = 3!a = f ′′′( x ) ,

…

P( k ) ( x ) = 2 3Lka = k !a = f

( k ) ( x ) ,

…

P( n−1) ( x ) = 2 3L(n −1)a

n−1

= (n −1)!a

= f ( n−1) ( x ) ,

n−1

P( n) ( x ) = 2 3Lna = n!a = f

( n ) ( x ) .

a0 = f ( x0 ) , a1

= f ′( x0 ) ,

a2 =

′′( x0 )

a3 =

f ′′′( x0 )

, … ,

ak =

f ( k ) ( x )

( n−1) ( x )

f ( n ) ( x )

, . . . , an−1 =

, an =

k !

(n − 1)!

# 3 ( , ":

P ( x) = f ( x ) + f ′( x )( x − x ) +

f ′′( x0 )

( x − x )2 + a +

f ′′′( x0 )

( x − x )3

+ ... +

( k )

( x0 )

(n )

( x0 )

(k )

( x0 )

( x − x0 )k

+ ... +

( x − x0 )n = ∑

( x − x0 )k .

k !

k =0

k !

5 ( , * " ) 2 y = f (x) .

8 " y = f (x)

, " , + n ,

+ ' # ( , * " *:

f ( x) = Pn ( x) x .

* " + +-

. / + 3 ! + *:

2 # ( (1685–1731) – ( * ( .

f ( x) ≈ Pn ( x) .

# * , + * :

Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) ,

" , * " $ . 0 , * ( ) * 3 . / , " , * " '

2 +. .

% 1. ( ϕ( x) ψ( x) $ δ - x0 $ -

1)x ( x0 − δ, x0 + δ) ϕ( n+1) ( x), ψ(n+1) ( x) ,

2)ϕ( x0 ) = ϕ′( x0 ) = K = ϕ( n) ( x0 ) = 0, ψ( x0 ) = ψ′( x0 ) = K = ψ( n+1) ( x0 ) = 0 ,

3)x ( x0 − δ, x0 ) ( x0 , x0 + δ) : ψ( k ) ( x) ≠ 0 (k = 0,1,..., n + 1) .

) x ( x0 − δ, x0 ) ( x0 , x0 + δ) ξ , $ -

x0 x , , %

ϕ( x) = ϕ( n+1) (ξ) . ψ( x) ψ( n+1) (ξ)

. .( " x ( x0 , x0 + δ) . # ' 3 ,:

ϕ( x)

ϕ( x) − ϕ( x0 )

ϕ′(ξ1 )

< ξ1 < x .

, x0

ψ( x)

ψ( x) − ψ( x0 )

ψ′(ξ1 )

ϕ′(ξ1 )

ϕ′(ξ1 ) − ϕ′( x0 )

ϕ′′(ξ2 )

x0 < ξ2 < ξ1 .

ψ′(ξ1 )

ψ′(ξ1 ) − ψ′( x0 )

ψ′′(ξ2 )

# !

ϕ( x)

ϕ′(ξ1 )

ϕ′′(ξ2 )

x0 < ξ2 < ξ1 < x < x0 + δ .

ψ( x)

ψ′(ξ1 )

ψ′′(ξ2 )

6 ' 3 ( ϕ′′ ψ′′ , ϕ′′′ ψ′′′ , … , ϕ( n ) ψ( n ) , ,:

	ϕ(x)	=	ϕ′(ξ )	= K =	ϕ(n ) (ξ	n	)	=		ϕ( n+1) (ξ)
			1								,
	ψ(x)		ψ′(ξ )		ψ( n) (ξ
						n	)			ψ(n+1) (ξ)
			1
x0 < ξ < ξn < K < ξ2 < ξ1 < x0							+ δ , ( ! ! .
" , * " , x ( x0 − δ, x0 ) .
! 1. ( δ > 0									, % y = f (x) δ - -

x0 (n + 1) - . )

x ( x0 − δ, x0 ) ( x0 , x0 + δ) ξ , $ x0x , , %

n		( k )	(x0 )			( n+1)	(ξ)
f (x) = ∑	f			( x − x0 )k +	f			( x − x0 )n+1 .

k =0		k !			(n + 1)!

. .(

x ( x − δ, x ) ( x , x

+ δ) ,

P ( x) = n

f ( k ) ( x0 )

( x − x )k

–

∑

k !

k =0

# ( " y = f (x) ,

Rn ( x) = f (x) − Pn ( x) . 6 ! '

# ( : P( k ) (x ) = f

(k ) (x )

(k = 0,1, 2,..., n) , +

R( k ) (x ) = 0

(k = 0,1, 2,..., n) .

$" ϕ( x) = R (x) , ψ(x) = (x − x )n+1

. 5 *-

"' * , +

ϕ(x)

R ( x)

R( n+1) (ξ)

f ( n+1)

(ξ) − P(n+1) (ξ)

f (n+1) (ξ)

ψ(x)

( x − x )n+1

(n + 1)!

3 + x0 x ( " , -

(n + 1) - " n - " , + ).

6 ,:

R ( x) =

f ( n+1) (ξ)

( x − x )n+1 ,

(14.1)

(n + 1)!

( , + " .

7 (14.1) 3 # ( ( , * "

. 0 ' * + 3 3 . - " , .

% 2. & % r(x) x0 n -

, :

r(x0 ) = r′(x0 ) = r′′(x0 ) = K = r ( n ) ( x0 ) = 0 ,

r(x) = o((x − x0 )n ) x → x0 .

n . .(

n = 1. # r( x0 ) = r′( x0 ) = 0 . $":

lim	r( x)	= lim	r( x) − r( x0 )	= r′( x0 ) = 0 ,
lim	x − x0	= lim	x − x0	= r′( x0 ) = 0 ,
x→ x0		x→ x0

( ,, r( x) = o( x − x0 ) x → x0 . % , -

+ " " n = m , ( * " n = m + 1. 6 ' :

r( x0 ) = r′( x0 ) = 0 = r′′( x0 ) = K = r ( m) ( x0 ) = r ( m+1) ( x0 ) = 0 .

# " q( x) = r′( x) :

q( x0 ) = q′( x0 ) = q′′( x0 ) = K = q( m) ( x0 ) = 0 ,

" :

q( x) = r′( x) = o(( x − x0 )m ) .

6 ' 2 + ,:

r( x) = r( x) − r( x0 ) = r′(c)( x − x0 ) ,

c * " + x0 x . ) * | c − x0 | < | x − x0 | ,

r′(c) = o((c − x0 )m ) = o(( x − x0 )m ) ,

r( x) = o(( x − x )m+1 ) , ( ! ! .
			0
! 2. & % f					( n ) ( x ) ,
					0
f ( x) = P ( x) + o(( x − x )n ) ,						(14.2)
		n		0
P ( x) =		n	f ( k ) ( x0 )	( x − x )k	– # ( " y = f (x) .
P ( x) =		∑		( x − x )k	– # ( " y = f (x) .
n		∑	k !	0
		k =0	k !
. .( Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x)						– 3 ( # (-
. ) * ,				f ( n ) ( x ) , , R( n) ( x ) , :
				0	n	0
R ( x ) = R′			( x ) = K = R( n) ( x ) = 0 ,
n	0	n	0	n	0

2 , R ( x) = o(( x − x )n ) , .

7 (14.2) , * " ' # ( 3

#3.

#. $ ' y = arctg x " x −1

(x − 1)3 .

6 (:

arctg1 =

(arctg x)′

x=1

1 + x2

x=1

(arctg x)′′

= −

x=1

(1 + x2 )2

x=1

(arctg x)′′′

6x2 − 2

x=1

(1 + x2 )3

x=1

6 ' (14.2) x0 = 1, n = 3 ,:

arctg x =	π	+	1	( x −1) −	1	( x − 1)2 +	1	( x −1)3 + o(( x − 1)3 ) .

4		2		4		12

15. '					! .
& + ( ( # (, " ( -
, * " x0 = 0 :
n		( k )	(0)
f ( x) = ∑	f			xk + o( xn ) ,	(15.1)

k =0		k !

3 % + (1858–1932) – ( * ( .

o(xn ) – ", + xn x → 0 . 7

(15.1) , * " *4. 6 ( " ,' -

' " (.

1. y = ex .

/ ,:

f (x) = f ′(x) = f ′′(x) = K = f ( n ) ( x) = ex , + f ( k ) (0) = 1

(k = 0,1, 2,..., n) . % "' (15.1), ,:

ex = ∑

+ o( xn ) = 1 + x +

+ ... +

+ o( xn ) .

k =0 k !

2. y = sin x .

, * ':

(n)

( x ) = (sin x)

(n)

nπ

= sin x +

f (n) (0) = sin nπ . 2

% n , ! n = 2k , ( ', ', n , ! n = 2k + 1 , ', (−1)k . # / " -

y = sin x ! * 3 x ( + , * "

, " y = sin x ). ) +:

2n+1

2 k 1

(−1) x

sin x = ∑(−1)k

+ o( x2n+2 ) =x −

−

+ ... +

+ o( x2 n+2 ) .

k =0

(2k + 1!

3! 5! 7!

(2n + 1)!

/ 3 o (x2 n+2 ) , o (x2n+1 ), * -

( # ( ', '. 3.

(−1)n

x2n

cos x = 1 −

−

+ ... +

(2n )!

+ o(x2n 1 ) .

4. y = ln (1 + x).

/ ,:

f (x ) = ln (1 + x ), f (0) = 0 ,

f ′(x ) =

′(0) = 1 = 0!,

1 + x

f ′′( x ) = −

′′(0) = −1 = −1!,

(1 + x )2

4 / (1698–1746) – 3 * ( .

f ′′′( x) =		2	,	f ′′′(0) = 2 = 2!,

	(1 + x )3
f (4) ( x) = −		6		, f (4) (0) = −6 = −3!,
		(1 + x )4

…

f	(n) ( x) = (−1)n−1	(n − 1)!	, f (n) (0) = (−1)n−1 (n − 1)!
		(1 + x)n

% 3 /, ,:

ln (1 + x ) = x −	x2	+	x3	−	x4	+ ... + (−1)n−1	xn	+ o( xn ) ,
							n
2		3		4

5. y = (1 + x )α .

8 α * , (1 + x )α – , ' /-

" * ( * ! 3 ) ! ! .*'-

. , α , *, ! .*' ,

", , * * ' ' /.

f (x ) = (1 + x)α , f (0) = 1,

f ′(x ) = α (1 + x)α−1 , f ′(0) = α , f ′′( x ) = α (α − 1)(1 + x )α−2 , f ′′(0 f ′′′( x) = α (α −1)(α − 2)(1 + x )α−3

…

)

=α (α −1) ,

f ′′′(0) = α (α − 1)(α − 2) ,

f (n) ( x) = α (α −1)L(α − n + 1)(1 + x )α−n , f (n) (0) = α (α − 1)L(α − n + 1) .

% "' /, ,:

(1 + x )α = 1 + αx + α (α − 1) x2 + α (α −1)(α − 2) x3 + ... +

α (α − 1)L(α − n + 1)

xn + o(xn ) .

1 1

− 1 L

− n + 1

1 + x

= (1 + x )

= 1 +

−

+ ... +

2 2

xn + o (xn ),

! "

≈ 1 +

, . 10.

1 + x

1. $ ' / ' y = cos4 x o(x2n+1 ) .

, ' "

. , ' " ' /-

y = cos x , ' + ’" 3. $":

cos4 x = (cos2

x )

1 + cos 2x 2

(1 + 2 cos 2x + cos2 2x) =

1 + cos 4x

1 +

2 cos 2x +

cos 2x +

cos 4x .

x2k

cos x = ∑(−1)k

+ o(x2n+1 )

k =0

(2k )!

2 k

cos 2x = ∑(−1)k

+ o( x2 n+1 ), cos 4x = ∑(−1)k

+ o( x2n+1 ) .

(2k )!

k =0

# :

2 k

cos4 x =

∑(−1)k

+ o( x2 n+1 ) =

8 2 k =0

(2k )! 8 k =0

(2k )!

(−1)

= 1 + ∑

(22k −1 + 24k −3 )x2 k + o(x2 n+1 ) .

k =1

(2k )!

2.$ ' / o(xn ) ' y = ln x − 5 . x − 4

/ ,:

−

x − 5

5 − x

= ln

+ ln 1 −

− ln 1

−

x − 4

4 − x

−

k −1

ln(1 + x) = ∑

(−1)

xk + o( xn )

k =1

ln 1 −

(−1)

k −1

2 k −1

= ∑

(−1)k

+ o( xn ) = ∑

(−1)

xk + o( xn ) = −∑

+ o(xn ) ,

k =1

k 5

k =1

ln 1 −

(−1)

k −1

2k −1

= ∑

(−1)k

+ o( xn ) = ∑

(−1)

xk + o(xn ) = −∑

+ o(xn ) .

k =1

k 4

k =1

k 4

6 ,:

x − 5

1 1

= ln

∑

− ∑

+ o(xn ) = ln

+ ∑

−

xk + o(xn ) .

x − 4

k 4

k =1

k 4

16. !.

$" " * * # (. I. .! + ! " * .

. ! + ! " * ' # (

" , , " ! + ', * " - " # ( (! /) " ( . % * ! ', * " ' 3

# (. ! * " " ’'.

1. )! ! + 9,18 , ' " * -

" ' # (. ) !.

, * ! + ' ':

1 + x ≈ 1 + x − x2 . 2 8

% * 3 ( 2 + ! ":

− 1

− 2

( x) =

(1 + c )

−3 x3 =

(1 + c)2

c * " + 0 x . / ,:

0,18

0,02

0, 0004

9,18 =

9 + 0,18 =

9 1 +

= 3 1 +

0,02 ≈

3 1

−

= 3 1, 00995 = 3, 02985 .

) ! ( 0 < c < 0, 02 ):

(x )

≤

0,023

≤ 0, 05 10−6 .

(1 + c )

6 " + 3 ! δ ', * " :

δ ≤ 3 0,5 10−6 = 0,15 10−5 .

2. )! ! + e ' 0,001.

, * ' # (:

= 1 + x +

+ ... +

+ R

(x ) ,

R ( x ) =

xn+1 ,

(n + 1)!

c * " + 0 x . % 3 x = 1, :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.05.2015278.02 Кб17Дипломна работа Маша Станкова 4-болг332.doc
#
01.05.2025286.21 Кб0дипломна робота текст.doc
#
01.03.2025648.7 Кб0Дипломна робота.doc
#
01.04.20251.6 Mб0Диущак Юля.doc
#
20.05.2015813.81 Кб6Диференціальне числення ФБЗ.pdf
#
20.05.20151.08 Mб9Диференціальне числення ФОЗ.pdf
#
20.05.2015237.57 Кб11ДифференцПсихолЛекции.doc
#
20.05.2015983.01 Кб245Длекции с картинками.docx
#
12.11.2019259.07 Кб2Для 3 курсу _ПС.doc(3 перших заняття).doc
#
01.05.2025114.69 Кб0Для бакалавров.doc
#
23.08.20191.19 Mб37для диплома.doc