Funk_metoda_part_2
.pdfМIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРА НИ ОДЕСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ iм. I.I. МЕЧНИКОВА
Iнститут математики, економiки та механiки
МЕТОДИЧНI ВКАЗIВКИ ДО КУРСУ ФУНКЦIОНАЛЬНОГО АНАЛIЗУ
Функцiонали. Оператори.
Для студентiв факультету математики
ОДЕСА 2005
У методичних вказiвках сформульовано деякi основнi означення i властивостi лiнiйних обмежених функцiоналiв i операторiв в лiнiйних нормованих просторах. Наведено приклади розв'язання задач i запропоновано задачi для самостiйного розв'язання. При пiдборi задач особлива увага придiлялася функцiоналам i операторам, що дiють в просторах функцiй i послiдовностей C[a,b], Lp[a,b],
lp, якi ¹ найважливiшими як для теорi¨, так i для практики.
Данi методичнi вказiвки мають сво¹ю метою допомогти студентам оволодiти основними поняттями i методами функцiонального аналiзу, а головне, виробити практичнi навики ¨х застосування до розв'язання задач.
Теоретичний матерiал, пов'язаний з темою цих методичних вказiвок, можна, наприклад, знайти в пiдручниках [1 9]. Бiльшiсть завдань для вправ запозичено зi збiрникiв [10 14].
Методичнi вказiвки складенi так, щоб бути використаними при кредитно-модульнiй системi навчання. За матерiалом, викладеним в роздiлi "Функцiонали, оператори", плану¹ться провести три модулi. При цьому
задачi для 1-го модуля будуть складенi iз завдань 1 3 роздiлiв цiх методичних вказiвок;
задачi для 2-го модуля iз завдань 4 5 роздiлiв; задачi для 3-го модуля iз завдань 6 9 роздiлiв.
Склали: Вартанян Г.М., Неча¹в А.П., Малаксiано М.О., Леончик .Ю.
Друку¹ться згiдно з рiшенням вчено¨ ради IМЕМ. Протокол __ вiд _____
2
Çìiñò |
|
|
1 Обмеженi лiнiйнi функцiонали |
4 |
|
1.1 |
Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
1.2 |
Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
2Продовження функцiоналiв, теорема Хана - Банаха 12
2.1Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 |
Обмеженi лiнiйнi оператори |
14 |
|
|
3.1 |
Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
|
3.2 |
Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
16 |
4 |
Поточечна збiжнiсть послiдовностей операторiв та |
|
|
|
слабка збiжнiсть послiдовностей елементiв |
19 |
|
|
4.1 |
Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
|
4.2 |
Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
5 |
Оберненi оператори |
23 |
|
|
5.1 |
Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
23 |
|
5.2 |
Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
25 |
6 |
Замкненi оператори |
27 |
|
|
6.1 |
Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
27 |
|
6.2 |
Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
28 |
7 |
Спряженi оператори |
29 |
|
|
7.1 |
Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
|
7.2 |
Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
32 |
8 |
Компактнi оператори |
33 |
|
|
8.1 |
Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
33 |
|
8.2 |
Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
36 |
9 |
Спектр лiнiйного оператора |
38 |
|
|
9.1 |
Основнi факти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
38 |
|
9.2 |
Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
43 |
3
1Обмеженi лiнiйнi функцiонали
1.1Основнi означення
Означення 1. Функцiоналом називають числову функцiю f, визначену на лiнiйному просторi X.
Означення 2. Функцiонал f, визначений на лiнiйному просторi X, назива¹ться адитивним, якщо
f(x + y) = f(x) + f(y) äëÿ áóäü-ÿêèõ x, y X.
Означення 3. Функцiонал f, визначений на лiнiйному просторi X над полем P , назива¹ться однорiдним, якщо
f(αx) = αf(x) äëÿ áóäü-ÿêèõ x X òà α P.
Адитивний однорiдний функцiонал назива¹ться лiнiйним функцiоналом.
Означення 4. Функцiонал f, визначений на метричному просторi X, назива¹ться неперервним в точцi x0, ÿêùî ε > 0 iñíó¹ такий окiл Ux0 елемента
|f(x) − f(x0)| < ε x Ux0 .
Як вiдомо, лiнiйний функцiонал f, неперервний в деякiй однiй точцi x0 X, ¹ неперервним в кожнiй точцi X.
Означення 5. Лiнiйний функцiонал f, визначений на нормованому просторi X, назива¹ться обмеженим, якщо iсну¹ таке до-
датне число C, ùî |f(x)| < C||x|| для будь-якого елемента x X.
Означення 6. Число
f |
|| |
= |
sup |
f(x) |
| |
= sup |
|f(x)| |
|| |
|
x X, ||x||≤1 |
| |
x X, x6=0 |
x |
||
|
|
|
|
|
|| || |
назива¹ться нормою лiнiйного обмеженого функцiоналу f, визна-
ченого на нормованому просторi X.
Як вiдомо, обмеженiсть лiнiйного функцiоналу на нормованому просторi рiвносильна його неперервностi.
4
Нехай f1 òà f2 два лiнiйних функцiонали на X. Сумою цих функцiоналiв назива¹ться лiнiйний функцiонал
f(x) = f1(x) + f2(x), x X.
Добутком αf1 лiнiйного функцiоналу на скаляр α назива¹ться функцiонал
f(x) = αf1(x), x X.
Вiдносно цих операцiй множина усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв, визначених на просторi X, утворю¹ лiнiйний
простiр. Нормою елемента f з цього простору називають число
|| |
f |
|| |
= |
sup |
| |
f(x) |
| |
= sup |
|f(x)| |
. |
||
|
|
x X, ||x||≤1 |
|
x X, x6=0 |
|| |
x |
|| |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отже, множина усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв, визна- чених на просторi X, утворю¹ лiнiйний нормований простiр, який
називають спряженим з простором X i позначають символом X . Як вiдомо, спряжений простiр ¹ повним.
Теорема 1. Нехай H гiльбертовий простiр. Для будь-якого обмеженого лiнiйного функцiоналу f, визначеного всюди на H, iсну¹ ¹диний елемент y X такий, що
f(x) = (x, y), x H.
При цьому ||f||H = ||y||H . Тобто H = H.
Теорема 2. Для будь-якого обмеженого лiнiйного функцiоналу f, визначеного на просторi lp, 1 < p < ∞, iñíó¹ òàêà ïîñëi-
äîâíiñòü y = (y1, y2, ..., yn, ...) lq, p1 + 1q = 1, що цей функцiонал можна зобразити у виглядi
∞
X
f(x) = xnyn, x = (x1, x2, ..., xn, ...) lp.
n=1
При цьому ||f|| = ||y||lq . Тобто
(lp) = lq, 1 < p < ∞, p1 + 1q = 1.
5
Теорема 3. Для будь-якого обмеженого лiнiйного функцiоналу f, визначеного на просторi C[a;b], iсну¹ функцiя g(t) обмежено¨
âàðiàöi¨ íà [a; b], що цей функцiонал можна зобразити у виглядi iнтегралу Стiлть¹са
Z b
f(x) = x(t)dg(t), x(t) C[a;b].
a
При цьому ||f|| = Wba g(t). Тобто
C[a;b] = V[a;b],
äå V[a;b] це простiр функцiй з обмеженою варiацi¹ю на [a; b],
в якому ототожнюються функцi¨, якi вiдрiзняються в усiх сво¨х точках неперервностi на сталий доданок.
Теорема 4. Для будь-якого обмеженого лiнiйного функцiоналу f, визначеного на просторi Lp[a;b], 1 < p < ∞, iñíó¹ òàêà ôóíê-
öiÿ g Lq[a;b], p1 + 1q = 1, що цей функцiонал можна зобразити у виглядi iнтегралу Лебега
f(x) = Za |
b |
|
|
|
x(t)g(t)dt, x(t) L[pa;b]. |
||||
При цьому ||f|| = ||g||L[qa;b] . Тобто |
|
|
+ q = 1. |
|
L[pa;b] = L[qa;b], 1 < p < ∞, p |
||||
|
|
1 |
|
1 |
Приклад 1. Доведiть, що функцiонал |
|
|||
0 |
|
1 |
|
|
f(x) = Z−1 x(t)dt − Z0 |
x(t)dt, x C[−1,1] |
|||
¹ лiнiйним i неперервним. Знайдiть його норму.
Розв'язок. Однорiднiсть i адитивнiсть функцiоналу виплива¹ з вiдповiдних властивостей визначеного iнтегралу Рiмана.
Перейдемо до знаходження норми. Ма¹мо,
0 |
1 |
0 |
1 |
|f(x)| = | Z−1 x(t)dt − |
Z0 |
x(t)dt| ≤ | Z−1 x(t)dt| + | Z0 |
x(t)dt| ≤ |
6
≤ |
1 |
| | |
|
1 |
−1≤t≤1 | |
| |
|
1 |
Z−1 |
dt |
≤ Z−1 |
dt = |
|| || · Z−1 dt = 2||x||. |
||||
|
|
x(t) |
|
max |
x(t) |
x |
Çâiäêè ||f|| ≤ 2. Покажемо, що ||f|| ≥ 2. Для цього розглянемо послiдовнiсть {xn(t)}∞n=1 неперервних функцiй
−1,
xn(t) = nt,
1,
−1 ≤ t ≤ −n1 , −n1 ≤ t ≤ n1 , n1 ≤ t ≤ 1,
графiки яких мають вигляд
Для функцiй цi¹¨ послiдовностi ма¹мо:
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|f(xn)| = | Z−1 xn(t)dt − Z0 |
|
xn(t)dt| = 2 − |
. |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|||||||||||||
Çâiäêè |
x| C[0;1]| |
≥ n N |
|
x| n |
|
C[0;1]| |
n N |
|
− n |
|||||
||f|| = x C[0;1] |
|
|
|
|||||||||||
sup |
|
f(x) |
sup |
|
f(xn) |
= sup |
2 |
|
1 |
= 2. |
||||
|
|| |
|
|| |
|| |
|
|
|
|
||||||
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Îòæå, ||f|| = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 2. Доведiть, що функцiонал |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f(x) = |
λkx(tk), x C[a;b], |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
äå tk [a; b], λk R, k |
= 1, 2, ..., n, ¹ лiнiйним i неперервним. |
|||||||||||||
Знайдiть його норму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7
Ðîçâ'ÿçîê. Îñêiëüêè
|
n |
|
X |
f(αx1 + βx2) = |
λk (αx1(tk) + βx2(tk)) = |
|
k=1 |
n |
n |
X |
X |
= α λkx1(tk) + β |
λkx2(tk) = αf(x1) + βf(x2), |
k=1 |
k=1 |
òî f лiнiйний функцiонал. Його обмеженiсть виплива¹ з оцiнки
|f(x)| = |
|
n |
λkx(tk) |
= |
n |
|λk| · |x(tk)| ≤ ||x|| |
n |
|λk| . |
|
|
X |
|
|
X |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
k=1 |
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Çâiäêè ||f|| ≤ |
|
kn=1 |λk| . |
|
|
|
|
|
[a; b] |
|
|
тепер кусково-лiнiйну неперервну в промiжку |
||||||||
РозглянемоP |
|
|
|
|
|
|
|||
функцiю x0(t), яка прийма¹ в точках t1, t2, ..., tn значення
x0(tk) = sign λk, k = 1, 2, ..., n,
ëiíiéíà íà âiäðiçêàõ [tk; tk+1], k = 1, 2, ..., n−1, i стала в промiжках [a; t1], [tn; b]. Для цi¹¨ функцi¨ ||x0|| = 1, i òîìó
||f|| = |
|
|
|
|
|f(x)| ≥ |f(x0)| = |
n |
sup |
|
||≤ |
|λk| . |
|||
|
} |
|| |
x |
1 |
X |
|
x |
C[a;b , |
|
|
k=1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Îòæå |
n |
|
||f|| = X |λk| . |
k=1
Приклад 3. Записати у формi iнтегралу Стилтьеса лiнiйний неперервний на C[−1;1] функцiонал f, визначений формулою
1 |
|
f(x) = Z−1 tx(t)dt − 2x(0), x(t) C[−1;1]. |
|
|
2 |
Розв'язок. Розглянемо на [−1; 1] функцiю g1(t) = t2 . Òîäi |
|
1 |
1 |
Z−1 x(t)dg1(t) = |
Z−1 tx(t)dt. |
8
Для функцi¨
g2 |
(t) = |
0, −1 ≤ t ≤ 0; |
|
|
−2, 0 < t ≤ 1, |
Z 1
x(t)dg2(t) = x(0) [g2(+0) − g2(−0)] = −2x(0).
−1
Тому для функцi¨
|
2 |
1 ≤ t ≤ 0; |
g(t) = |
2 t2 , |
|
( |
t2 − 2, |
−0 < t ≤ 1 |
ìà¹ìî ðiâíiñòü |
|
|
1 |
1 |
|
f(x) = Z−1 x(t)dg(t) = |
Z−1 tx(t)dt − 2x(0), x(t) C[a;b]. |
|
При цьому легко перевiрити, що ||f|| = 3 = W1−1 g(t).
1.2Вправи
1.Доведiть, що наступнi функцiонали ¹ лiнiйними неперервними у вiдповiдних просторах. Знайдiть ¨х норми
(a) f(x) = ax, |
a R, x R; |
|
||||||
(b) f(x) = ax1 + bx2, |
a, b R, x R2; |
|||||||
(c) f(x) = |
1 |
(x(−1) + x(1)), |
x C[−1;1]; |
|||||
|
3 |
|||||||
(d) f(x) = |
2(x(1) − x(0)), |
|
x C[0;1]; |
|||||
(e) f(x) = Z0 |
1 x(t)dt, |
x C[0;1]; |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(f) f(x) = Z−1 x(t)dt − x(0), |
x C[−1;1]; |
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
(g) f(x) = Z−1 x(t)dt − Z0 |
x(t)dt, |
x C[−1;1]; |
||||||
9
Z 1
(h) f(x) = tx(t)dt :
−1
i) x C[−1;1], ii) x L[−1;1], iii) x L2[−1;1].
2.Доведiть, що наступнi функцiонали ¹ лiнiйними обмеженими функцiоналами у вiдповiдних просторах. Знайдiть ¨х норми
|
f(x) = Z0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
(a) |
t−31 x(t)dt, |
x L[0;1]2 ; |
||||||
|
f(x) = Z0 |
1 x(√ |
|
)dt, |
|
x C[0;1]; |
||
(b) |
t |
|
||||||
(c) |
f(x) = Z0 |
1 x(t) cos tdt, |
x C[0;1]; |
|||||
(d) |
f(x) = x1 + x2, |
x = (x1, x2, ..., xk, ...) l2; |
||||||
|
∞ x |
|
|
|||||
(e) |
f(x) = |
|
k |
, |
x = (x1, x2, ..., xk, ...) l2; |
|||
|
2k |
|||||||
|
k=1 |
|
|
|||||
|
X |
|
|
|||||
|
∞ x |
|
|
|||||
|
f(x) = |
|
k |
x = (x1, x2, ..., xk, ...) l1. |
||||
(f) |
|
|
, |
|||||
|
k |
|||||||
X
k=1
3. Доведiть, що
a) (Rn) = Rn; b) (c0) = l1; c) (l1) = l |
∞ |
. |
|
|
4.Наведiть приклади функцiоналiв, визначених на просторi l1, якi досягають i якi не досягають сво¹¨ норми на замкненiй одиничнiй кулi.
5.Нехай X дiйсний лiнiйний нормований простiр, f ëiíié-
ний функцiонал, визначений на X. Доведiть, що функцiонал f неперервний тодi i тiльки тодi, коли для будь-якого c R множини {x X : f(x) < c} i {x X : f(x) > c} ¹ вiдкритими в просторi X.
10