Упражнения

1. Решить методом Гаусса и с помощью определителей систему уравнений

2х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ = 11,

7х₁ + 3х₂ + 6х₃ + 8х₄ = 24,

3х₁ + 2х₂ + 4х₃ + 5х₄ = 14,

х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ = 10.

2. Найти базис и размерность подпространства, образуемого совокупностью решений однородной системы уравнений:

а) 3х₁ + 5х₂ – х₃ + 2х₄ = 0, б) х₁ + 4х₂ – 3х₃ + 6х₄ = 0,

2х₁ + 4х₂ – х₃ + 3х₄ = 0, 2х₁ + 5х₂ + х₃ + 2х₄ = 0,

х₁ + 3х₂ – х₃ + 4х₄ = 0; х₁ + 7х₂ – 10х₃ + 20х₄ = 0.

3. Совместна ли система уравнений? Если совместна, то решить ее:

а)х₁ + х₂ + х₃ = 3, б) х₁ – 2х₂ – 3х₃ = –3,

х₁ + х₂ – 3х₃ = –1, х₁ + 3х₂ – 5х₃ = 0,

2х₁ + х₂ – 2х₃ = 1, –х₁ + 4х₂ + х₃ = 3,

х₁ + 2х₂ – 3х₃ = 1; 3х₁ + х₂ – 13х₃ = – 6;

в) 2х₁ + х₂ – х₃ – х₄ + х₅ = 1, г) 2х₁ – х₂ + х₃ – 5х₄ = 4,

х₁ – х₂ + х₃ + х₄ – 2х₅ = 0, 2х₁ + 3х₂ – 3х₃ + х₄ = 2,

3х₁ + 3х₂ – 3х₃ – 3х₄ + 4х₅ = 2, 8х₁ – х₂ + х₃ – х₄ = 1,

4х₁ + 5х₂ – 5х₃ – 5х₄ + 7х₅ = 3; 4х₁ – 3х₂ + 3х₃ + 3х₄ = 2;

д)х₁ + 2х₂ + х₃ – х₄ + х₅ = –1,

2х₁ + 5х₂ + 6х₃ – 5х₄ + х₅ = 0,

х₁ – 2х₂ + х₃ – х₄ – х₅ = 3,

х₁ + 3х₂ +2х₃ – 2х₄ + х₅ = –1,

х₁ – 4х₂ + х₃ + х₄ – х₅ = 3.

4. Найти с помощью обратной матрицы решение системы

Глава 8 приведение матриц

Пусть К есть векторное пространство конечной размерности n над полем Р. И пусть f есть линейное отображение пространства К в К. При помощи обычного изоморфизма пространств К и Pⁿ приходим к линейному отображению Pⁿ в Pⁿ. Это отображение определяет квадратную матрицу из n строк и n столбцов, зависящую от выбранного в K базиса. Попытаемся найти в K такой конкретный базис, относительно которого связанная с f матрица имела бы наиболее простую форму.

§1. Матрица перехода от одного базиса к другому

Пусть – первоначальный базис пространстваК, а – его новый базис. Выразим векторычерез векторы, образующие первый базис. Имеем,j = 1, 2, ..., n. Координаты векторовв базисеможно записать в виде матрицы:

,

здесь столбцы матрицы – это координаты векторов по базису.

Определение. Матрицу Т, вектор-столбцы которой составлены из координат векторов нового базиса, выраженных через первоначальный базис, называют матрицей перехода от одного базиса к другому.

Матрица перехода Т обладает следующими свойствами:

1. Поскольку и– базисы одного и того же пространстваК, то число их одинаково, а разложение по базису единственно. Поэтому матрица Т всегда квадратная и определяется однозначно.

2. Вектор-столбцы матрицы Т линейно независимы (это вектора базиса). Таким образом, ранг r(T) матрицы перехода T равен n; это означает, что определитель D(T)   и матрица T всегда имеет обратную T^–1, которая будет матрицей перехода от к.

Матрица перехода Т представляет взаимно однозначное отображение

пространства Pⁿ на себя. Действительно, пусть – произвольный элемент изК. Имеем

выразив иТ, получим

Векторы ипринадлежат пространствуPⁿ, и при этом . Разложение по базисам единственно и обратимо (существует обратная матрицаT^–1), следовательно – взаимно однозначное отображение.

В качестве наглядной иллюстрации матрицы перехода рассмотрим ее для геометрического пространства, в котором матрица перехода связана с преобразованием системы координат и определяет линейное отображение R³ на R³.