
- •Линейная алгебра глава 1 законы композиции
- •§1. Внутренние законы композиции
- •1.2. Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля
- •§2. Внешние законы композиции
- •§3. Изоморфизм
- •Глава 2 комплексные числа
- •§1. Поле с комплексных чисел
- •Потренироваться в сложении-вычитании и умножении
- •§2. Комплексно сопряженные числа
- •§3. Модуль комплексного числа. Деление двух комплексных чисел
- •§4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •§5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула муавра. Извлечение корня
- •§6. Комплексные функции
- •Комплексные функции одного действительного переменного
- •Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства
- •Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа
- •Глава 3 многочлены
- •§1. Кольцо многочленов
- •§2. Деление многочленов по убывающим степеням
- •§3. Взаимно простые и неприводимые многочлены. Теорема и алгоритм евклида
- •§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r
- •Упражнения
- •Глава 4 векторные пространства
- •§1. Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов
- •§2. Векторные пространства р n над полем р
- •§3. Векторы в геометрическом пространстве
- •3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве
- •Из подобия треугольников авс и ав'с' следует (как в случае , так и в случае ), что.
- •3.3. Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного пространства r3
- •3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов
- •Упражнения
- •§4. Векторное подпространство
- •4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов
- •4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах
- •4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов
- •4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой
- •§5. Базис и размерность векторного пространства
- •5.1. Построение базиса
- •5.2. Основные свойства базиса
- •5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов
- •§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р
- •§8. Линейные отображения векторных пространств
- •8.1. Ранг линейного отображения
- •8.2. Координатная запись линейных отображений
- •Упражнения
- •Глава 5 матрицы
- •§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •§2. Алгебраичесие операции над матрицами.
- •Пусть даны матрицы
- •§3. Изоморфизм между векторным пространством
- •§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
- •§5. Квадратные матрицы
- •5.1. Обратная матрица
- •5.2. Транспонированная квадратная матрица.
- •Упражнения
- •Глава 6 определители
- •§1. Определение и свойства определителя, вытекающие из определения
- •§2. Разложение определителя по элементам столбца (строки). Теорема о чужих дополнениях
- •§3. Геометрическое представление определителя
- •3.1. Векторное произведение двух свободных векторов
- •3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов
- •§4. Применение определителей для нахождения ранга матриц
- •§5. Построение обратной матрицы
- •Упражнения
- •Глава 7 системы линейных уравнений
- •§1. Определения. Совместные и несовместные системы
- •§2. Метод гаусса
- •§3. Матричная и векторная формы записи линейных
- •3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицыk 1.
- •§4. Система крамера
- •§5. Однородная система линейных уравнений
- •§6. Неоднородная система линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 8 приведение матриц
- •§1. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •1.1. Матрица перехода, связанная с преобразованием
- •1.2. Ортогональные матрицы перехода
- •§2. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
- •2.1. Собственные значения, собственные векторы
- •2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме
- •§3. Вещественные линейные и квадратичные формы
- •3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •3.2. Определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра
- •Упражнения (номера с 1465 и далее)
§3. Изоморфизм между векторным пространством
МАТРИЦ И ВЕКТОРНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ Рп НАД ПОЛЕМ Р
Как
мы уже говорили, матрице А
размером k ×
m
можно поставить в соответствие
упорядоченную систему из m
вектор-столбцов
в
пространствеРk,
либо из к
вектор-строк
в
пространствеРm.
Обе
упорядоченные системы векторов
и
–
есть элементы одного и того же векторного
пространства Рn,
где n = k·m,
которое и является изоморфным для
векторного пространства матриц размером
k×m.
Действительно,
и
.
Рассмотрим
теперь систему, состоящую из одного
вектора
.
Очевидно, что этот вектор через свои
компоненты в пространстве матриц будет
ассоциироваться с матрицами размером
1n,
либо n1;
матрица размером 1n;
матрица размеромn1.
Ясно, что отображение
есть
изоморфизм, ибо
Используя
указанный изоморфизм, покажем, как
представляется отображение
,
где
в
пространстве матриц.
Пусть отображение А пространства Рm в Рk задано формулами:
+ +1mm,
2 2 2 + +2mm,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
к k k + +kmm .
Вектору
с компонентами1,2,
. . .,к)
из Рk
поставим в соответствие матрицу:
размером
k
1,
а вектору
с компонентами (
,,
,m)
матрицу
размеромm1.
Тогда отображение,
определяемое матрицей
А
=
размеромk×m
в пространстве матриц определяется той
же матрицей А
и представляется в виде:
=
·
В
заключение рассмотрим, как в пространстве
матриц отображается скалярное произведение
двух векторов из пространства
.
§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
Определение. Рассмотрим отображение φ векторного пространства RnRn в R, при котором устанавливается следующее соответствие
,
здесь
;
упорядоченная пара (
),
является элементом векторного пространстваRnRn;
(
,,
,n)
и (β1,
β2,
. . . , βn)
компоненты соответственно векторов
;
число
изR.
Такое отображение
называется скалярным
произведением
двух векторов
из пространстваRn
и обозначается ( , ), а само число
–
(
)
либо
.
Отображение не является линейным отображением. Действительно, так как RnRn векторное пространство, то
.
Легко показать, что
и, следовательно, отображение
не является линейным отображением.
Выясним
теперь, как скалярное произведение
представляется в
пространстве матриц. Пусть даны два вектора
Теперь вектору
поставим в соответствие матрицу
размером 1n,
а вектору
–
матрицу
размеромn1.
Тогда произведение
в пространстве
матриц эквивалентно произведению
=1122
. . .
nn.
Видно, что и в векторном пространстве матриц отображение не является линейным отображением
§5. Квадратные матрицы
Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной; одинаковое число n строк и столбцов называется порядком матрицы.
Множество
элементов ii
называется главной
диагональю,
а матрица, у которой все элементы,
расположенные вне главной диагонали
есть нули ij
= 0, если i
j,
называется диагональной.
если все элементы диагональной матрицы
одинаковыii
= ,
то такая матрица называется скалярной.
Диагональная матрица, все элементы которой равны единице, называется единичной и обозначается Еn (или In).
или
En
= (ij
), где i
= 1,2,...,n;
j
= 1,2,...,n;
ij
– символ
Кронекера. Единичная матрица En
представляет
собой нейтральный элемент относительно
умножения матриц А
порядка n:
АEn
= EnА
= А.
Сумма и произведение двух матриц n-го порядка всегда определены и результатом будут матрицы порядка n. Однако произведение квадратных матриц не коммутативно: А·В В·А. Например,
Квадратные
матрицы порядка n
определяют линейные отображения Рn
в Рn,
а единичная матрица En
ассоциируется
с системой векторов канонического
базиса
пространстваРn.