4. Построение теоретического закона распределения
Для построения графика теоретического закона распределения совместно с графиком гистограммы и для проверки согласия по критерию хи-квадрат Пирсона надо заполнить таблицу, знакомую по лекции (см. ниже по тексту, таблица №1). Для построения этой таблицы надо воспользоваться таблицей карман – частота процедуры Гистограмма.
xi – границы интервалов группировки (карманы – получены как результат выполнения процедуры Гистограмма);
mi – количество элементов выборки, попавших в i – ый интервал (частота – получена в результате процедуры Гистограмма);
Таблица №1
-
xi
mi
n∙pi
карманы
частота
теоретическая частота
статистика U
x1
m1
n∙p1
x2
m2
n∙p2
…
…
…
…
xk
mk
n∙pk
Для
построения этой таблицы в Excel
к столбцам Карман
и
Частота
процедуры Гистограмма
надо добавить
столбцы n∙pi
и 
,
где в ячейках столбца 
будет находиться статистика
(как показано на рис. 6).
pi – теоретическая вероятность попадания элементов выборки в i – ый интервал группировки для принятой гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности равна
pi = P(xi-1 < X < xi) = F(xi) – F(xi-1).
n∙pi – теоретическая, ожидаемая частота попадания элементов выборки в i – ый интервал группировки для принятой гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.
В Excel эту величину можно вычислить, воспользовавшись функцией НОРМРАСП.
n∙pi = НОРМРАСП(xi; среднее; стандартное_откл; 1)·n –
– НОРМРАСП(xi-1; среднее; стандартное_откл; 1) ·n.
–статистика,
являющаяся мерой расхождения между
значениями эмпирической и теоретической
плотности распределения;
Рис. 6. Подготовительная таблица для построения графика теоретической плотности нормального распределения.
Замечание. Функцию НОРМРАСП вызывается следующим образом. В главном менюExcelвыбирается закладкаФормулы → Вставить функцию (или щелкните в строке формул значок fx) → в диалоговом окне Мастер функций – шаг 1 из 2 в категории Статистические → НОРМРАСП.ОК.
Рис. 7. Окно Мастер функцийдля выбора функции НОРМРАСП из категорииСтатистические.
В раскрывшемся окне Аргументы функцииНОРМРАСПзаполните поля ввода как показано далее на рис. 10.
Рис. 8. Окно ввода параметров для получения функции нормального распределения
В поле Xвводится адрес ячейки, в которой находится граница интервала группировки.
В поле Среднеевводится адрес ячейки, в которой находится среднее значение выборки, полученное при выполнении процедурыОписательная статистика– E$10$.
В поле Стандартное_отклвводится адрес ячейки, в которой находится значение стандартного отклонения выборки, полученное при выполнении процедурыОписательная статистика – E$14$.
В поле Интегральнаявведите единица1. Единица в полеИнтегральнаяозначает вычисление функции распределенияF(x). ОК.
1
.
В ячейку E31
внесите
формулу
для
вычисления значения функции
нормального распределения F(x1
= 2,93) = P(–
∞ < X
≤ x1),
умноженного на число наблюдений n.
В
рассматриваемом примере n
=100. В ячейку E31
будет
получено теоретическое (ожидаемое)
число случайных величин, попавших в
интервал
,n∙pi
= F(x1)∙100,
=НОРМРАСП(C31;E$10$;E$14$;1)*100
(как показано на рис. 9).
E10 – среднее значение, E14 – стандартное отклонение, взятые из таблицы Описательная статистика.
2.
В ячейку E32
поместите
формулу для вычисления теоретического
(гипотетического) числа случайных
величин, попавших в интервал
:
n∙p2 = n ∙ [F(x2) – F(x1)] = n ∙ [P(x1 < X ≤ x2)] = n ∙ [P(2,93 < X ≤ 4,87)],
где
p2
= F(x2)
– F(x1)
= P(x1
< X
≤ x2)
= P(2,93
< X
≤ 4,87) - теоретическая вероятность
попадания нормально распределенных
случайных величин в промежуток
.
В Excel в строку формул необходимо поместить формулу:
=(НОРМРАСП(C32;$E$10;$E$14;1)*100 –
– НОРМРАСП(C31;$E$10;$E$14;1))*100
Заполните
диапазон ячеек Е33:Е40
результатами вычисления этой формулы,
используя маркер заполнения, чтобы
получить в ячейках
,
,
… ,
теоретическое (ожидаемое) число
случайных величин, попавших в каждый
частный интервал.
Рис. 9. Столбец n∙pi (E31;E41) содержит результаты вычисления теоретических значений числа случайных величин попавших в каждый частичный интервал (карман) n∙pi
3
. В ячейку
E41
поместите формулу
для вычисления теоретического
(гипотетического) числа случайных
величин, попавших в промежуток (x10;
∞):
P(x10 < x < ∞) = 1 – P(– ∞ < x ≤ x10) = 1 – F(x10) – вероятность попадания нормально распределенных случайных величин в промежуток (x10; ∞).
В Excel в строку формул необходимо поместить формулу:
=(1 – НОРМРАСП(C40;E$10$;E$14$;1))*100
В результате всех этих операций выводится таблица (рис. 9).
Для проверки правильности вычислений просуммируйте числа в ячейках столбца E31:E41. В ячейке Е42 показана сумма содержимого ячеек Е31:Е40. Она должна быть равна n = 100.
В графике Гистограмма частот добавьте кривую нормального (теоретического) распределения, как это вы умеете делать.
Щелкните правой кнопкой мыши по столбику гистограммы, в появившемся меню выберите: Выбрать данные… → Добавить → заполнить поля ввода Имя ряда: f, Значения: введите массив значений n∙pi , (или Имя ряда:, Значения X:, Значения Y) ОК, ОК.
Рис. 10. Графики гистограммы эмпирических и теоретических частот, позволяющие по виду графиков выбрать в качестве гипотезы H0 нормальное распределение.
5. Проверка согласия эмпирического и теоретического законов распределения по критерию хи-квадрат Пирсона ( = 0,95)
Для того чтобы сохранить графики гистограммы эмпирических и теоретических частот в красивом виде необходимо скопировать таблицу на рис. 9 Карман – Частота – n∙pi – U в другое место таблицы.
Скопируйте таблицу Карман – Частота – n∙pi – U в свободные ячейки листа Excel, для чего, верхний левый угол копии разместите, например, в ячейке C75.
Для
вычисления статистики
необходимо выполнить условие – в
каждом кармане должно быть не менее
5 элементов выборки(n∙pi
≥ 5) для
теоретических
значений распределения частот. Объединим
(просуммируем) три верхние ячейки
(просуммируем ячейки E76,
E77
и E78,
их сумма дает величину больше 5, а именно
6,02979) и три нижние ячейки (просуммируем
ячейки E84,
E85
и E86,
их сумма дает величину 8,33947), столбца
n∙pi
, содержащего теоретические частоты.
Суммируемые ячейки на рис. 11 выделены красным курсивом.
Рис. 11. Верхние ячейки E76, E77 и E78, выделенные для суммирования , и нижние ячейки E84, E85 и E86, выделенные для суммирования.
В результате после суммирования получится таблица рис. 12.
Рис. 12. В столбце n∙pi объединены ячейки E76, E77 и E78 (результат суммирования – в ячейке E78) и ячейки E84, E85 и E86 (результат суммирования – в ячейке E84).
Объедините три верхние ячейки D76, D77 и D78 и три нижние ячейки D84, D85 и D86 столбца Частота, содержащего эмпирические (опытные) частоты.
Рис. 13. В столбце Частота объединены ячейки D76, D77 и D78 (результат суммирования – в ячейке D78) и ячейки D84, D85 и D86 (результат суммирования – в ячейке D84).
Для проверки правильности проведенных операций суммирования просуммируйте столбцы D78 – D84 и столбцы E78 – E84, результат должен быть равен объему выборки n = 100.
В
ячейку F78
столбца помеченного именем U
введите формулу
,
в строку формул введите формулу=(D78-E78)^2)/E78,
и скопируйте ее в ячейки F79
– F84.
В
ячейке F85
получите сумму 
содержимого
ячеек F78;F84.
Рис. 14. Таблицы с результатами вычисления статистики
В
ячейке F85
получено значение статистики
,
U = 2,96483.
Критическое
значение статистики U,
которая имеет распределение
для уровня значимости
= 1 -
= 0,05, с шестью
(число
частичных интервалов
– 1
– число
параметров,
в рассматриваемом примере 9
– 1 – 2 = 6)
степенями свободы, определяется при
помощи функции ХИ2ОБР.
Функцию ХИ2ОБР вызывается следующим образом. В главном меню Excel выбирается закладка Формулы → Вставить функцию → в диалоговом окне Мастер функций – шаг 1 из 2 в категории Статистические → ХИ2ОБР. ОК.
В диалоговом окне Аргументы функции ХИ2ОБР заполните поля как показано на рис. 15, предварительно выбрав ячейку для результата вычисления функции, например F88.
Рис. 15. Диалоговое окно функции ХИ2ОБР с заполненными полями ввода
Рис. 16. Таблица с окончательными результатами вычисления статистики
и
критического значения
=12.5916
Значение
статистики U
= 2,96483
оказалось
меньше критического значения
=12.5916,
как это видно из таблицы.
Вывод. Следовательно, гипотеза, состоящая в том, что генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения, принимается.
Теперь можно использовать принятый гипотетический закон распределения – закон распределения генеральной совокупности для вычисления вероятностей попадания исследуемой случайной величины в заданный интервал.
7. Вычисление вероятности попадания исследуемой случайной величины в заданные интервалы (c = 10, d = 15)
=
,
=
,
=
.
Вычисления выполнить в Excel. Используя функцию НОРМРАСП.
8. Доверительные интервалы для заданной доверительной вероятности = 0,99, = 0,95, = 0,9.
1. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при неизвестной дисперсии
,
–критическая
точка распределения Стьюдента с n
– 1 числом степеней свободы и уровнем
значимости
= 1 -
2. Доверительный интервал для неизвестного дисперсии
,
и
– критическая точка распределения
сn
– 1 числом степеней свободы и уровнем
значимости
.
Пример вычислений в Excel приведен в приложении 1.
Приложение 1
…. …… …… ….. ….
… … … … … … … …
… … … … … … … …
…. …. … … …. …. …. …
