Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Matematicheskoe_modelirovanie-2011-2.docx
Скачиваний:
12
Добавлен:
19.05.2015
Размер:
622.9 Кб
Скачать

Министерство сельского хозяйства

Российской федерации

ДЕПАРТАМЕНТ КАДРОВОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ

ФГОУ ВПО «Тверская государственная сельскохозяйственная академия»

Кафедра Математики

Учебное пособие и лабораторный практикум

по математическому моделированию

для студентов инженерного факультета

Тверь – 2012 г.

Аннотация.

В учебном пособии анализируются задачи линейного программирования применительно к работе инженера-механика сельскохозяйственного производства. В теоретической части подробно рассмотрена общая методика построения линейной модели для нахождения оптимальных решений управления и планирования работы предприятий, в частности, сельскохозяйственной отрасли. Лабораторный практикум посвящен конкретным задачам об оптимальной структуре машинно-транспортного парка и маршрутах с наименьшими затратами при транспортных перевозках.

Составитель – доцент кафедры математики Тверской государственной сельскохозяйственной академии, к. ф.- м. н. Жаров С.Ю.

Рецензент – доцент кафедры экономического анализа Московского государственного университета технологии и управления имени К.Г.Разумовского, к.э.н. Шматлай Т.А.

Настоящее учебное пособие одобрено на заседании кафедры математики: протокол № 11 от 22.06.2012г.

Утверждено на заседании методической комиссии экономического факультета: протокол № 1 от 14.09.2012г.

Содержание

№ п/п

Название

Стр.

1

Введение

4

2

Лабораторная работа №1. Графический (геометрический) способ определения оптимального плана

4-9

3

Лабораторная работа №2. Симплексный метод определения оптимального плана

9-26

4

Лабораторная работа №3. Симплексный метод определения оптимального состава, оптимального плана использования и оптимального доукомплектования машинно-тракторного парка

27-39

5

Лабораторная работа № 4. Транспортная задача (ТЗ) с закрытой моделью

40-48

6

Лабораторная работа N 5. Транспортная задача (ТЗ) с открытой моделью

48-51

6

Основной список вопросов, выносимых на зачет и входящий в содержание лабораторных работ

52

7

Список рекомендуемой литературы

53

Введение Математическое моделирование

Математическая модель – это математическое описание изучаемого явления, отражающее наиболее существенные его черты. Основные требования к модели: относительная простота, четкость интерпретации, достаточная точность.

В настоящее время множество задач планирования и управления в различных отраслях хозяйства решаются методами математического программирования (моделирования), наиболее развитым из которых в области оптимизационных задач является самый простой и доступный метод линейного программирования (МЛП). Этот метод позволяет описать широкий круг задач хозяйственной и коммерческой деятельности: планирование товароснабжения, распределение ресурсов, капиталовложений, организация рациональных перевозок товаров, распределение рабочей силы и специалистов и т.д.

Простейшая задача МЛП – нахождение максимума (или минимума) линейной функции доходности (затрат)

Z(X) = с1 Х1 + с2 Х2 + с3 Х3 + … +сn Хn (1) при ограничении ресурсов, заданных линейными неравенствами:

a11 X1 + a12 X2 +…a1n X n ≤ b1, ( или = b1, ≥ b1)

a21 X1 + a22 X2 +…a2n X n ≤ b2, (или = b2, ≥ b2) (2) …………………………………………………..

am1 X1 + am2 X2 +…a mn X n ≤ b m, (или = b m, ≥ b m)

X1≥0 X2≥0 X3≥0 …X n ≥0

Совокупность чисел (вектор) Х= (Х1, Х23… Хn), удовлетворяющих задаче с ограничениями (2) называется допустимым решением или планом. План

Х= (Х1*, Х2*3* Хn*), при котором целевая функция Z(X) принимает максимальное или минимальное значение, называется оптимальным. В случае, когда требуется найти минимум Z(X) = с1Х1 + с2Х2 + с3Х3 + … +сnХn можно перейти к нахождению максимума Z1(X) = - с1Х1 - с2Х2 - …- сnХn , так как min Z(X) = - max Z1(X).

Лабораторная работа №1 Графический (геометрический) способ определения оптимального плана

Если функция Z(X) содержит только две неизвестных Х1 и Х2 , то линейные неравенства ограничений (2) будут представлять выпуклый многоугольник, в пределах которого находятся все возможные планы, удовлетворяющие основной задаче. Так как функция доходности является линейной, то она не имеет экстремумов внутри многоугольника, а наибольшее и наименьшее значения принимает на его границах , в частности – его вершинах. Очень редко задача допускает множество решений, лежащих в произвольных точках одной из сторон (вырожденный план).

В общем случае, когда вершин многоугольника решений большое количество, для нахождения нужной вершины находим вектор градиента grad Z(X)= с1 + с2 (направление наибольшего роста). Линия, перпендикулярная градиенту, представляет изолинию Z(X) = Const. Двигая прямую изолинию от т.(0,0) (очевидно, что при этом Z(X) = 0) в направлении градиента, отмечаем первую вершину многоугольника решений (минимум) и последнюю (максимум). Таким образом, решение задачи МЛП графическим способом включает следующие этапы:

  1. на плоскости строят систему координат Х12 и проводят прямые, уравнения которых получают в результате замены в ограничениях (2) знаков неравенств на знаки точных равенств,

  2. находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений, и строят выпуклый многоугольник решений,

  3. строят вектор градиента целевой функции grad Z(X) = с1 + с2,

  4. строят начальную прямую целевой функции с1 Х1 + с2 Х2 = 0, и затем параллельно передвигают ее в направлении градиента grad Z(X) . В результате находят вершины многоугольника, где целевая функция Z(X) принимает наименьшее и наибольшее значения. Определяют координаты этих точек,

  5. по координатам выделенных вершин многоугольника решений определяют оптимальные значения целевой функции Z(X) .

Пример№1.

Цех по производству комбикорма и травяной муки, которые поступают в продажу по цене 2 тыс. руб. и 3 тыс. руб. за тонну, использует два вида сырья сенаж и зерно, суточный запас которых составляет 3т и 4т соответственно. Расход сырья на производство 1т готовой продукции приведен в Таблице:

Сырье

Расход сырья на производство 1 т

Запасы сырья, т

Комбикорм

Травяная мука

Сенаж

0,5

1,0

3

Зерно

1,0

0,5

4

Цена 1 т, тыс. руб.

2

3

Коммерческий отдел, анализируя рынок сбыта, установил, что спрос на травяную муку не превышает 2т в сутки, при этом он не может превосходить спрос на комбикорм более, чем на 1,5т. Какое количество продукции ежедневно должен производить цех, чтобы его доходы от реализации были максимальны, если минимальный выпуск комбикорма и муки ежедневно не ниже, чем 0,25т и 0,5т соответственно.

Целевая функция (доход от продажи продукции) Z(X) = 2 Х1 + 3 Х2, где Х1 –количество выпускаемого комбикорма, Х2 –количество травяной муки. Ограничение запасов сырья, и особенности спроса запишем в виде неравенств (2):

0,5 X1 + 1 X2 ≤ 3,

1 X1 + 0,5 X2 ≤ 4,

X2 - X1 ≤ 1,5,

Х2 ≤ 2,

X1≥0,25 , X2≥0,5

Построим на плоскости Х12 многоугольник решений, для этого в неравенствах системы ограничений знаки неравенств заменим знаками точных равенств:

0,5 X1 + 1 X2 = 3 (1),

1 X1 + 0,5 X2 = 4 (2),

1 X2 - 1 X1 = 1,5 (3),

X2 =2 (4),

X1= 0,25(5) , X2= 0,5(6).

Построив полученные граничные прямые (1)-(6), найдем соответствующие полуплоскости допустимых значений переменных и их пересечения. Полученное пространство решений есть многоугольник с вершинами ABCDEF (рис.1).

Рис.1. Построение области допустимых решений.

Для нахождения минимума и максимума целевой функции строим начальную прямую 2Х1 +3Х2 =0 и вектор grad Z(X) =2+3. Затем (рис.2) построим ряд прямых, параллельных начальной 2 Х1 + 3 Х2 =0 в направлении градиента (возрастания целевой функции).

Рис.2.Определение минимального и максимального значений целевой функции.

Первая вершина многоугольника т. А (0,25, 0,5) соответствует минимальному значению Z(X)=2*0,25+3*0,5=2. Максимальное значение Z(X) получается в т. Е на пересечении прямых 0,5 X1 + 1X2 = 3 и 1X1 + 0,5 X2 =4, имеющей координаты ( 10/3, 4/3), и равна примерно 10,67 (10 2/3).

Таким образом, суточный объем производства комбикорма должен быть равен10/3 т, а травяной муки – 4/3т. Доход от продажи в этом случае будет максимальным – 10,67 (10 2/3) тыс.руб.

Графический способ позволяет решать лишь простейшие задачи. При увеличении переменных в целевой функции до 3-х множеством планов становится многогранник в трехмерном пространстве (Х1Х2Х3), для нахождения которого потребуется построение плоскостей а 11 X112 X2 + а13 X3 = b1, что делает задачу трудной для практического решения.

Варианты заданий лабораторной работы №1.

Графическим методом определить наименьшее и наибольшее значение целевой функции Z(X):

1.1. 2X1 + 5X2 -10 ≤ 0; 1.2. X1 + 3X2 ≥ 9;

2X1 + X2 – 6 ≤ 0; -2X1 + X2 ≤ 5;

X1 + 2X2 – 2 0; 2X1 – 3X2 ≤ 0;

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 0 ≤ X1 ≤ 5, X2 ≥ 0

Для Z(X) = 3X1 – X2 +6. Для Z(X) = -5X1 + 9X2 .

1.3. X1 + X2 -4 ≤ 0 1.4. X1 + X2 ≥ 4

6X1 + 2X2 – 8 ≥ 0 8X1 - 4X2 +16 ≥ 0

X1 + 5X2 – 4 ≥ 0 0 ≤ X2 ≤ 9

0≤ X1 ≤ 3, 0≤ X2 ≤ 3 2 ≤ X1 ≤ 8

Для Z(X) = 2X1 + 3X2 . Для Z(X) = 2X1 + X2 +4.

1.5. 9X1 + 7X2 -79 ≤ 0 1.6. 2X1 - X2 ≥ 3

2X1 - 5X2 – 11 ≤ 0 X1 - X2 ≤ 3

2X1 + X2 – 4 ≥ 0 X1 – 3X2 ≤ 1

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

Для Z(X) = -X1 + 2X2 . Для Z(X) = X1 - 3X2 .

1.7. 6X1 + X2 ≤ 42 1.8. 7X1 + 5X2 ≥ 32

2X1 - 3X2 – 6 ≤ 0 2X1 + 7X2 ≥ 14

X1 + X2 4 -X1 + 6X2 ≥ 0

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 0 ≤ X1 ≤ 8, 0 ≤ X2 ≤ 5

Для Z(X) = X1 + 3X2 . Для Z(X) = 2X1 - 4X2 .

1.9. 0 ≤ X1 + X2 ≤ 3 1.10. -1 ≤ -X1 + X2 ≤ 1

-1 ≤ X1 - X2 X1 + X2 +1 ≥ 0

0≤ X1 ≤ 1, 0≤ X2 ≤ 2 -X1 + 2X2≤ 2

2X1 - X2≤ 2,

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

Для Z(X) = X1 + X2 . Для Z(X) = X1 + X2 .

1.11. 2X1 + 3X2 ≤ 24 1.12. 5X1 + 4X2 ≤ 20

-8X1 + 3X2 ≤ 24 X1 - X2 ≥ 0

2X1 - 3X2 ≤12, X2 ≤ 2,

4X1 + 3X2 ≥ -12 3X1 + X2 ≥3

Для Z(X) = -X1 + 4X2 . Для Z(X) = 3X1 + 5X2 .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]