Глава III. Алгебра предикатов

Л.М.Мартынов. Вводный курс математики, стр.43-69

Вопросы для самопроверки

1. Какое множество связано с каждой предметной переменной?

2. Укажите переменные и их области допустимых значений в предложениях:

a) «Число больше своей целой части».

б) «Река впадает в море».

в) «Точка лежит на стороне квадрата».

г) «Два треугольника подобны».

д) «Человек идёт по свету».

3. Как записывается предложение с переменными x, y, z и со свойством Р ?

4. Какие истинностные значения принимает предикат на наборах (1;3) и (4;2) значений предметных переменных?

5. Найдите область истинности предиката наR?

6. Если , то каковы значения высказываний

7. Каким свойством обладает таблица истинности предиката с натуральными переменными, еслипринимает истинное значение при каждом натуральномy?

8. Каковы истинностные значения высказываний, еcли вcе участвующие в их записи переменные являются натуральными ?

9. Можно ли в формуле записать кванторы в обратном порядке:?

10. Верно ли что при действительном х имеет место

11.Справедливо ли при действительном х :

12. Верна ли при натуральном х равносильность

13. Будут ли формулами алгебры предикатов записи:

14. Как выглядит отрицание – согласно законам отрицания кванторов?

15. Верно ли:

16. Почему справедливо

17. Как записать утверждение, обратное

18. Запишите без ограниченных кванторов:

19. Запишите с ограниченными кванторами: .

20. Почему формула является тождественно истинной?

Разберите решения следующих примеров

П р и м е р 1. Предложение: «Человек х — поэт» является предикатом. Сказуемое здесь: «быть поэтом».

Если предложение содержит одну переменную, оно называется одноместным предикатом.

Для обозначения одноместных предикатов используют символы: А(х), В(х), Р(х), Q2(х) и так далее.

Слово «предикат» происходит от латинского «ргеdicate» (сказуемое).

П р и м е р 2. Рассмотрим предложение: «2х–4 > 0». Истинно оно или ложно? Мы не можем ответить на этот вопрос. Это не есть высказывание. Но если вместо х поставить некоторое число, например 3, то мы получим истинное высказывание: «2 ∙ 3 – 4 > 0». Если вместо х поставить 1, то мы получим ложное высказывание: «2 ∙ 1 – 4 > 0». Исходное предложение содержит букву х и при подстановке вместо х некоторого числа, получаем высказывание. Данное предложение является одноместным предикатом.

Множество значений X которое принимает переменная х, называется областью определения предиката А(х).

Совокупность Т значений переменной х, при которых предикат А(х), принимает истинные значения, называетсямножеством истинности предиката А(х).

В примере 2 область определения X = R, а область истинности

П р и м е р 3.

а)

б)

в) множество простых чисел;

г) . В школе обычно говорят о множестве корней уравнения. Это то же самое, что и множество истинности соответствующего предиката.

Замечание. Область определения Х любого одноместного предиката А(х) можно разбить на два подмножества. Одно из них – область истинности Т предиката А(х), другое подмножество является дополнением множества Т до всего множества Х (Рис. 14).

Рис.14

Если множество истинности предиката совпадает с его областью определения, то такой предикат называется тождественно истинным. Если множество истинности предиката пусто, то такой предикат называется тождественно ложным.

П р и м е р 4. а) На множестве действительных чисел предикат является тождественно истинным (его область определения и множество истинности одинаковы:X = Т = R);

б) На множестве действительных чисел предикат « | х | < 0» является тождественно ложным, так как его множество истинности .

Два предиката А(х) и В(х), заданные на одном и том же множестве X, имеющие одинаковые множества истинности называются эквивалентными (логически равносильными или логически равными).

Пишут: (предикатыА(х) и В(х) эквивалентны).

П р и м е р 5. а) «Натуральное число х делится на 3»,«Сумма цифр десятичной записи натурального числа х делится на 3»,, так как множеством истинности каждого из этих предикатов является:

б)так как множество истинности этих предикатов является

в) , так как множеством истинности каждого из этих предикатов является:

Каждый одноместный предикат А(х) можно превратить в высказывание с помощью логической операции квантификации – навешивание квантора общности и квантора существования:

читается «для любого икс а от икс»,

читается «существует икс а от икс»

Замечание 1 . Записи и можно читать по-разному, хотя их логический смысл всегда один и тот же. Наиболее употребительные из них следующие (слова в квадратных скобках иногда опускаются):

1. читается так:

а) для любого (всякого, каждого [значения]) х из Х А(х) [истинно];

б) всякий (любой, каждый) элемент х из множества X обладает свойством А(х);

в) Каково бы ни было х из X, А(х).

2. читается так:

а) существует [значение] х из Х такое, что А(х) [истинно];

б) для некоторых [значений] х из X А(х) [истинно];

в) по меньшей мере (хотя бы) одно [значение] х из Х таково, что А(х) [истинно];

г) найдётся такое x: из X, чтo А(х) [истинно].

Слово «квантор» происходит от латинского слова «quantum», что означает «сколько». Обозначения и произошли от первых букв английских слов «All» – все и «Exist» – существует.

Высказывание считается истинным, если свойством А обладают все элементы (обладает хотя бы один элемент) из области определения предиката А(х), другими словами, если множество истинности Т предиката А(х) совпадает с его областью определения

П р и м е р 6. а) Предикат превращается в истинное высказывание, если воспользоваться квантором общности: (читается так: для всех действительных значений х выполняется неравенство ). Здесь

б) Предикат превращается в истинное высказывание с помощью квантора существования: (читается так: существует действительное значение х такое, что . В этом случае

П р и м е р 7. Прочитайте следующие высказывания. Какие из них истинны и почему?

а)

б)

в)

Решение. а)(читается так: при любом действительном х имеем х + 3 = 8). Это высказывание ложно, так как, например, при х = 4 имеем:

б) (читается так: существует действительное значение х такое, что х + 3 = 8). Это высказывание истинно, так как

в) (читается так: существует действительное число х, квадрат которого отрицателен). Это высказывание ложно, так как .

П р и м е р 8. Запишите следующие высказывания, используя кванторы:

а) «Квадрат любого числа есть число неотрицательное»;

б) «Найдётся такое действительное х, квадрат которого равен 0 ».

Ответ: а); б).

Замечание 2. Навешивание кванторов можно применить к любому предикату, при этом получится истинное или ложное высказывание. Если область определения предиката А(х) конечна и равна , то имеют место логические равенства:

П р и м е р 9. а) На множестве задан предикат. Высказывание

(истинное высказывание);

б) На множествезадан предикат.

Высказывание

(истинное высказывание).

Предикат может содержать более одного переменного. Тогда он называется двуместным, трёхместным и т.д. по числу переменных. И кванторов может быть несколько. Для обозначения двуместных предикатов используют символы А(х, у), В(х, у) и так далее. к-местные предикаты обозначаются так: и так далее.

П р и м е р 10. а)– двуместный предикат;

–истинное высказывание.

б) – истинное высказывание, сокращённо пишут так:

П р и м е р 11. – истина.

–ложь.

То есть разноименные кванторы нельзя переставлять. Следует отметить, что одноименные кванторы можно переставлять.

П р и м е р 12.(где– точки плоскости)истинное высказывание.

Предикаты, так же как и высказывания бывают простыми (элементарными) и составными (сложными). Составные предикаты образуются из простых при помощи логических связок: «и», «или», «неверно, что», «если..., то...», «тогда и только тогда», смысл которых тот же, что и в логике высказываний. Дадим определение логических операций над предикатами.

Отрицанием предиката называют предикат, истинный при тех и только тех значениях из множества X, при которых предикат А(х) – ложен, и наоборот.

П р и м е р 13. «Число x оканчивается цифрой 5». «Неверно, что числох оканчивается цифрой 5» (или «Число х не оканчивается цифрой 5»), Т = {15, 25} — множество истинности А(х). {10, 20, 30} – множество истинности . На рисунке 15 множество(дополнение множестваТ до X) заштриховано.

Рис.15

Отрицание кванторов. Сравним два высказывания: и. Первое означает: «Не для всех значенийх истинно А(х).» Второе означает: «Существует такое значение х, для которого неверно А(х).» Оба высказывания имеют одинаковый смысл, поэтому имеем: (1).

Аналогично, получаем: (2).

В самом деле, левая часть (2) означает: не существует такого значения х, для которого истинно высказывание А(х). Справа: А(х) ложно для всех значений х. Равносильность (1) и (2) называются законами де-Моргана для кванторов.

Итак, чтобы отрицать некоторый квантор, достаточно заменить его на квантор другого смысла, а отрицание перенести на предикат, стоящий за квантором.

П р и м е р 14. .

П р и м е р 15.

Замечание. Повторяя последовательно эти законы, можно «раскрыть» отрицание нескольких кванторов. Например:

.

П р и м е р 16. Функция f(х) называется ограниченной на множестве X, если . Составим отрицание этого определения, получим определение неограниченной функции:.

Конъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве X называется предикат истинный при тех и только техх из X, при которых истинны оба предиката А(х) и В(х).

П р и м е р 17. «Числоx кратно 3», его множество истинности «Числох кратно 5», его область истинности «Число х кратно 3 и 5», его множество истинности(на рисунке 16 множество Т заштриховано).

Рис. 16

Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве X называется предикат ложный при тех и только техх из Х при которых ложны оба предиката А(х) и В(х).

П р и м е р 18. .«Числох кратно 3», его область истинности «Числох кратно 5», его множество истинности «Числох кратно 3 или 5»; множеством истинности дизъюнкции предикатов является множество (Рис. 17).

Рис. 17

Импликацией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве X называется предикат ложный при тех и только техх из X, при которых предикат А(х) истинен, а В(х) ложен.

П р и м е р 19. .«Числох кратно 3», его множество истинности «Числох кратно 5», его множество истинности «Если числох кратно 3, то оно кратно 5»; множеством истинности импликации предикатов является множество (Рис.18).

Рис. 18

Если истинно высказывание , то предикатВ(х) называется логическим следствием А(х) (или следствием А(х)).

П р и м е р 20. Рассмотрим два уравнения (два одноместных предиката): (1) и(2). В качестве области определения выберем множествоR. (множество действительных чисел). Высказывание истинно, поэтому уравнение (2) является логическим следствием уравнения (1).

Замечание. Запись (с пропуском квантора встречается и в математической литературе).

П р и м е р 21. .«Числох делится на 4», его область истинности ;«Числох делится на 2», его область истинности . Из истинностиА(х) следует истинность В(х), то есть . Заметим, что(множество, на котором предикатпринимает ложные значения пусто). Кроме того,.

Итак, высказывание истинно в том и только том случае, когда(множество истинностипредикатаА(х) содержится в множестве истинности предиката В(х)).

Эквиваленцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве X называется предикат истинный при тех и только техх из X, при которых оба предиката А(х) и В(х) становятся истинными и ложными одновременно.

П р и м е р 22. .«Числох кратно 3», его множество истинности «Числох кратно 5», его множество истинности .«Числох кратно 3, тогда и только тогда, когда х кратно 5». Оба предиката одновременно истинны или ложны при , поэтому множество истинности эквиваленции предикатов есть множество. Очевидно, что(Рис.19) .

Рис. 19

Замечание. Можно дать ещё одно определение равносильности предикатов: предикаты и,называются эквивалентными (логически равносильными или логически равными), если истинно высказывание.

П

1	Л
2	И
3	И
4	Л
---	---

р и м е р 23. Предикат, заданный предложением «Натуральноех является простым числом», имеет натуральную переменную. Для первых натуральных значений переменой значения можно вписать так, как в таблице справа. При необходимости такую таблицу продолжают строить и дальше. Аналогично, для предикатазаданного предложением «Натуральноех делится на натуральное у», можно построить начало двухмерной таблицы истинности так, как это сделано справа. Из начала этой таблицы видно, что, например, – Л, а– И.

П

	1	2	3	4	5	6	…
1	И	Л	Л	Л	Л	Л	…
2	И	И	Л	Л	Л	Л	…
3	И	Л	И	Л	Л	Л	…
4	И	И	Л	И	Л	Л	…
5	И	Л	Л	Л	И	Л	…
6	И	И	И	Л	Л	И	…
-	--	--	--	--	--	--	--

р и м е р 24. Пусть на множестве натуральных чисел заданы предикаты,. Рассмотрим предикаты,и высказывания,. Имеем. Так как при каждом конкретном натуральном значениих = а высказывание истинно,– И, т.е.– И. Далее. Так как прих = 2 высказывание ложно, то– Л, т.е.– Л.

Рассмотрим . Так как приу = 1 высказываниеистинно, то– И,– И.

Наконец, выясним истинностное значение каждого из высказываний и. Имеем . Введеми возьмем произвольное натуральное значениех = а. Тогда является истинным высказыванием. Действительно, еслиy = b , то истинно, так как в случае ложной посылки импликация истинна, а в случае истинной посылки натуральное делимое всегда больше половины натурального делителя. Итак, предикатпри каждом конкретном значениих принимает значение И. Значит – И. Далее из того, что– И, следует– И.

Значит истинное высказывание.

П р и м е р 25. Перевести предложение на математический зык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: «Всякое натуральное число, обладающее тем свойством, что оно представимо в виде суммы двух натуральных чисел, делящихся на 5, само делиться на 5». Имеем: ;

.

В переводе последняя формула означает, что существует натуральное число х, представимое в виде суммы двух натуральных чисел, делящихся на 5, но само число х на 5 не делится.

П р и м е р 26. Дать определение ограниченной действительной функции, построить его отрицание, и это отрицание сформулировать по-русски.

Решение. Имеем: действительная функция f называется ограниченной, если найдется действительное с со свойством: при любом действительном х из того, что определено, следует. Значит,f – ограниченна.

Поcтроенное отрицание ограниченности f записывается так:

f – не ограничена. Итак, функцияf не ограничена, если при всяком действительном с найдется действительное число х из области определения f такое, что .

П р и м е р 27. Докажем, что .

Решение. При n=1 утверждение справедливо, так как . Предположим, что оно верно приn=k, т.е. . Докажем, что тогда оно верно и приn=k+1, т.е.

В самом деле

Тем самым доказана справедливость утверждения для любого натурального числа n.

П р и м е р 28. Докажем, что при любом натуральномn.

Решение. Если n=1, то , но. Значит, приn=1 утверждение верно. Предположим, что оно верно приn=k, т.е. . Докажем, что тогда оно верно и приn=k+1. В самом деле, имеем

. Каждое слагаемое делится на 64, следовательно, и вся сумма делится на 64. Итак, утверждение верно при всех.

П р и м е р 29. Докажем, что если , то.

Решение. Выражение, содержащееся в левой части неравенства, представляет собой сумму дробей, знаменатели которых – натуральные числа от 1 до 2ⁿ – 1. При n=1 оно обращается в верное числовое неравенство . Предположим, что неравенствовыполняется приn = k, т.е. .

Докажем, что тогда неравенство справедливо и приn=k+1, т.е. .

В самом деле , где. ВыражениеP_k представляет собой сумму 2^k дробей, каждая из которых больше, чем . Значит,.

Итак, . Но тогда, т.е..

На основании принципа математической индукции заключаем, что неравенство справедливо для любого.