![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава I. Элементы теории множеств
- •Вопросы для самопроверки
- •Разберите решения следующих примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава II. Алгебра высказываний
- •Вопросы для самопроверки
- •Разберите решение следующих примеров
- •Приложения алгебры высказываний
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава III. Алгебра предикатов
- •Вопросы для самопроверки
- •Разберите решения следующих примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава IV. Бинарные отношения
- •Вопросы для самопроверки
- •Разберите решения следующих примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава V. Элементы комбинаторики
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
Глава II. Алгебра высказываний
Л.М.Мартынов. Вводный курс математики, стр.20-42
Вопросы для самопроверки
1. Являются ли высказываниями предложения:
a) «Семь больше пяти».
б) «Это легко, как дважды два».
в) «Ура!».
г) «Число 63 делится на любое простое число».
д) «Солдат-парикмахер бреет всех солдат своего подразделения, кто сам не бреется».
е) «Гнутся шведы!»
ж) «То, что здесь написано, ложь».
з) «Открой окно!»
2. Сформулируйте отрицания высказываний:
a) «Число 4 не является простым».
б) «Три больше пяти».
3. Сформулируйте импликацию высказывания «Число 12 делится на 3» и высказывания «Число 12 делится на 5».
4. Каково
значение импликации
при ложной посылке?
5. Если
импликация
ложна, то каковыP
и
Q?
6. Если
значение дизъюнкции
ложно, то каковоP
?
7. Если
истинно, то каковы значениеP
и
?
8.
Если высказывания
иP
ложны, то каково Q?
9. Какие из следующих записей являются формулами алгебры высказываний:
a)
б)
в)
10.
Какая операция в формуле
выполняется первой, а какая последней?
11. Каков последний столбец формулы F в ее таблице истинности, если эта формула тождественно истинна?
12. Каково отрицание тождественно истинной формулы?
13. Является ли формула своим собственным логическим следствием?
14.
Известны таблицы истинности для формул
F
и G
от одних и тех же высказывательных
переменных. Как проверить, что
является тождественно истинной формулой.
15. Как связана равносильность формул F и G с их общей таблицей истинности?
16. Что можно сказать об истинности высказывания «Прямые a и b на плоскости параллельны или пересекаются»? Зависит ли его истинное значение от взаимного расположения прямых a и b? На каком законе логики основан ваш ответ?
Разберите решение следующих примеров
П р и м е р 1. Построить отрицание для следующих высказываний и определить их истинностное значение:
a)
«11>0»;
б)
«7 делится на 3»;
в)
«3+4=7».
Решение.
a)
отрицанием истинного высказывания
”11>0»
является ложное высказыванием
«11
0».
б) отрицанием
ложного высказывания
«7 делится на 3» будет истинное высказывание
«7 не делится на 3».
в)
«3+4
7»
ложное высказывание.
П р и м е р 2. Записать символически высказывание «15 делится на 3 и на 5».
Решение.
Это высказывание есть конъюнкция двух
высказываний
«15 делится на 3» и
«15 делится на 5». Поэтому получим:
П р и м е р 3.
Прочитать по правилам русского языка
символически записанное высказывание
,
если
«2 – простое число»,
«2 – четное число».
Ответ: « 2 – простое и четное число».
П р и м е р 4. Пусть
«Иван умен»,
«Петр умен»
Записать символически:
a) Иван умен и Петр глуп;
б) Иван и Петр оба глупы;
в) или Иван умен или Петр глуп;
г) если Иван умен, то Петр глуп.
Решение.
a)
б)
в)
г)
.
П р и м е р 5. Пусть
«У меня есть собака»,
«У меня есть кошка”. Перевести на
разговорный язык:
a)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение. a)У меня есть собака или у меня нет кошки;
б) Если у меня есть собака, то у меня нет кошки;
в) Или у меня нет собаки и есть кошка, или у меня нет кошки;
г) Если у меня нет собаки, то у меня нет кошки.
П р и м е р 6. Какие из данных высказываний истинны?
a)
35;
б)
77;
в)
30.
Решение.
a)
имеем дизъюнкцию:
Так как первый член дизъюнкции истинный,
то и вся дизъюнкция истинна.
б) высказывание
«77»
истинно, так как «7=7» истинно.
в) «30»
ложно, т.к. оба члена дизъюнкции ложны.
П р и м е р 7. Постройте импликацию высказывания «25 при делении на 7 дает остаток 2» и «11>0» и определите ее истинностное значение.
Решение. «Если 25 при делении на 7 дает остаток 2, то 11>0» – истинное высказывание, поскольку истинно его заключение.
П р и м е р 8.
Постройте эквиваленцию высказываний
«25 при делении на 7 дает остаток 2» и «2
является конем уравнения
»,
и определите ее истинное значение.
Решение.
«25 при делении на 7 дает остаток 2 тогда
и только тогда, когда 2 является конем
уравнения
».
Это высказывание истинно, как эквиваленция
ложных высказываний.
П р и м е р 9.Какие из данных высказываний истинны:
a)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
Ответ: а), б), г), д), е) – истинны;
в), ж), з) – ложны.
П р и м е р 10. Построить таблицы истинности для следующих формул:
a)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Определить является ли каждая из формул тавтологией, противоречием или выполнимой.
Решение. Для сложной формулы F можно предложить следующий порядок заполнения таблицы истинности:
1.В строку выписываются сначала все атомы, а затем все подформулы F (не считая атомов), начиная с простых и кончая самой формулой F. Для каждой записи подготавливается столбец.
2.Атомам формулы
F
даются всевозможные наборы значений
из множества {1;0}, компоненты которых
записываются в соответствующие столбцы.
Можно показать, что различных наборов
значений истинности атомов (значит и
строк таблицы) будет всего
,
гдеn
– число атомов формулы F.
Для удобства значения располагают так:
под первым атомом подряд пишут половину
(т.е.
)
значений 1, затем столько же значений
0; под вторым атомом пишут подряд четвертую
часть (т.е.
)
значений 1, затем столько же значений
0, повторяют это еще раз и т.д. Под последним
атомом значений 1 и 0 чередуются.
3.Столбцы всех подформул формулы F и столбец самой формулы F заполняются согласно определениям соответствующих операций.
а) так как формула
имеет две переменные, ее таблица
истинности содержит четыре строки
.
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Так как последний
столбец таблицы содержит только значения
1, то формула
является тавтологией.
Заметим, что 3, 4, 5 столбцы являются вспомогательными и в таблице истинности могут отсутствовать.
б) Поскольку формула
содержит три высказывательные переменные,
то ее таблица истинности содержит восемь
строк
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Эта формула является одновременно выполнимой и опровержимой, так как на наборе значений переменных 0, 0, 0 формула принимает значение 1, а на остальных наборах формула принимает значение 0.
в)
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
В этой таблице не приведен вспомогательный столбец. Формула является противоречием.
г)
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
В построенной таблице не заполнены вспомогательные столбцы (сделайте это самостоятельно). Формула является одновременно выполнимой и опровержимой.
П р и м е р 11. Проверить являются ли следующие формулы равносильными:
a)
и
;
б)
и
.
Решение.
а) составим таблицы истинности для данных формул (их удобно совместить). Получим:
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Сравнивая два
последних столбца, мы видим, что они
одинаковые. Значит, формулы равносильны
(или логически равны):
.
б) составим таблицы истинности:
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Сравнивая 6-й и 8-й
столбцы таблицы, видим, истинностные
значения формул различаются при значениях
переменных
,
,
.
Следовательно, эти формулы не являются
равносильными.
П р и м е р 12. Упросить формулы, применяя основные равносильности алгебры высказываний (стр. 32 учебного пособия Л.М.Мартынова).
а)
;
б);
в);
г).
Решение.
а)
(здесь применили дистрибутивный закон,
закон противоречия 7’
и свойство 0 – 8’).
б)
,
т.к. если обозначить
черезХ, то
получим
по закону поглощения 4.
в).
г)
.
П р и м е р 13.
Записать формулу
с помощью только конъюнкции и отрицания.
Решение.
.
П р и м е р 14.
Доказать, что формула
есть логическое следствие формул
.
Решение.
1-й способ. Докажем, что
по определению. Для этого составим
всевозможные наборы истинностных
значений для высказывательных переменных
,
вычислим для них соответствующие
значения посылки
и значения
и сравним только те значения этих формул,
при которых посылка истинна.
Легко понять, что первая формула принимает значение 1 лишь для набора истинностных значений 0,0. Требуемое логическое следование вытекает из фрагмента таблицы истинности
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
2-й способ. По
признаку логического следования для
высказывательных формул достаточно
показать, что импликация
,
тождественно истинна (или тавтология).
Докажем это с помощью преобразований:
3-й способ. Методом
от противного. Предположим, что формула
не является логическим следствием
формул
и
.
Значит, при истинных посылках
и
формула
принимает значение 0. Т.к.
,
то
,
.
Но тогда мы получаем противоречие с
предположением об истинности посылки
.
Полученное противоречие доказывает,
что наше предположение неверно, и значит,
формула
является логическим следствием посылок
и
.