В. Давнис Прогнозные модели экспертных предпочтений

Для вычисления максимально возможного значения дисперсии проведем, используя очевидное равенство

Преобразованная формула позволяет понять, что максимальное значение дисперсии достигается при наибольшем значении перво­ го члена в квадратных скобках. В свою очередь, наибольшего зна­ чения этот член достигает в том случае, когда у всех экспертов оценки оказались одинаковыми, т.е. все ранжировки одинаковые. В случае одинаковых ранжировок каждая строка в табл. 2.2 будет содержать одинаковые целые числа (ранги) /, и, следовательно, величину, возводимую в квадрат, можно представить в виде

где / — величина среднего ранга, которая для данного случая целая.

Теперь величина первого члена в квадратных скобках может быть выражена через пит:

Это максимально возможное значение для случая, когда оцени­ валось п объектов группой из т экспертов и их точки зрения пол­ ностью совпали. Если изменится хотя бы одна из ранжировок, то сумма уменьшится. Действительно, перестановка рангов в одной из ранжировок приведет к изменению некоторых / под знаком суммиро­ вания. Причем если /, < /2, то /, возрастет на величину (/2 — /,)//я, а /2 — уменьшится на эту же величину. Тогда с помощью простых

40

вычислении можно показать, как изменится в целом вся сумма в зависимости от тех изменений, которые произошли с двумя сла­ гаемыми:

Из полученного выражения следует, что сумма уменьшается на величину дополнительного слагаемого, которое всегда отрицатель­ ное. Следовательно, дисперсия имеет максимальное значение только в случае полного совпадения мнений экспертов.

Окончательно, подставляя (2.40) в (2.38) и подробно распи­

Когда дисперсия равна нулю, имеет смысл рассматривать слу­ чай т - п. Именно в этом случае возникает ситуация, когда один и тот же объект оценивается экспертами по-разному, т.е. все п ранжировок разные. А для разных ранжировок первый член в выражении (2.41) равен

При т = п полученное выражение полностью совпадает с вы­ ражением для пр2 и, следовательно, величина дисперсии в рассматриваемом случае равна нулю.

Если ввести обозначение

то коэффициент конкордации можно записать в компактном виде следующим образом:

т (п —п)

41

Если в полученных ранжировках есть связные ранги, то коэф­ фициент конкордации нужно корректировать, так как максималь­ ное значение дисперсии становится меньше, чем в случае отсут­ ствия связных рангов. Скорректированный коэффициент конкор­ дации вычисляется по формуле

где Т — показатель связных рангов в у'-й ранжировке:

Здесь Я, — число групп равных рангов в у'-й ранжировке; пк — число равных рангов в к-к группе связных рангов в ранжировке, полученной от у'-го эксперта.

Коэффициент конкордации равен 1 в тех случаях, когда мне­ ния экспертов по всем объектам полностью совпадают, и равен нулю, когда все ранжировки различны. В остальных случаях его значения удовлетворяют неравенству 0 < W < 1, причем чем бли­ же это значение к 1, тем теснее связь между ранжировками и надежнее групповая оценка.

Коэффициент конкордации, вычисляемый по выведенной фор­ муле, является, по сути, оценкой истинного значения и пред­ ставляет собой случайную величину. Естественно, возникает не­ обходимость в проверке его значимости.

Для небольших значений тип разработана специальная таб­ лица распределения частот [22]. Если число объектов п > 7, то значимость оценки коэффициента конкордации проверяется с помощью критерия х2- Доказано, что величина

42

Проверка значимости коэффициента конкордации гарантирует получение статистически надежных результатов.

Рассмотрим числовой пример, иллюстрирующий процедуру вычисления коэффициента конкордации. Исходные данные и промежуточные результаты расчетов приведены в табл. 2.6.

Т а б л и ц а 2.6

Исходные данные и промежуточные расчеты

Количество ранжируемых объектов п — 8, количество экспер­ тов, принявших участие в экспертном опросе, т = 6. Средний

Отклонения от среднего и квадраты отклонений представлены в двух последних столбцах таблицы. Используя итог последнего

Для проверки значимости коэффициента конкордации вычис­ лим статистику хи-квадрат:

мнения экспертов согласованы.

43

Энтропийный коэффициент конкордации определяется через ве­ личину энтропии Не помощью формулы

где H = -J^^Pi.log2p. .

i=I ./=1

В формуле для вычисления энтропии />.. представляет собой оценку вероятности, с которой /-му объекту приписывается у'-й ранг. Вычисляется эта вероятность как отношение числа экспертов т1р приписавших объекту А(- ранг у, к общему числу экспертов

т

т

Как известно, максимальное значение энтропии достигается при равновероятном распределении рангов. Если в опросе при­ нимают участие т экспертов, то в случае равномерного распре­ деления число экспертов, приписавших /-му объекту у'-й ранг, равно их среднему числу, приходящемуся на один объект, т.е.

от.. = т/n. Тогда вероятность определяется с помощью простой формулы

Значение энтропийного коэффициента конкордации заключено между нулем и единицей. Если W3 = 0, то это означает, что между ранжировками нет связи. В этом случае ранги равномерно распре­ делены между объектами и, следовательно, Н = #m a r Противопо­ ложный случай: W3 = 1 соответствует ситуации, когда все экспер­ ты идентично оценили значимость объектов, и ранжировки оказа­ лись совпадающими между собой. При совпадающих ранжировках

рк/= 1, а все остальные р0 = 0 (i*k, j*l, i = l,n, j = l,m). Поэто­ му H = 0 и, следовательно,^ = 1.

44

Процедура вычисления энтропийного коэффициента конкордации более громоздкая, чем дисперсионного. Проиллюстрируем ее основные этапы на данных предыдущего примера.

На первом этапе по табл. 2.6 сформируем квадратную матри­ цу размером п х п с элементами т^, представляющими количество экспертов, приписавших /-му объекту у'-й ранг (табл. 2.7).

Т а б л и ц а 2.7

Частоты экспертных предпочтений

получим матрицу, элементы которой есть вероятности, с которыми эксперты присваивают ранги соответствующим объектам (табл. 2.8).

Т а б л и ц а 2.8

Вероятности, с которыми эксперты проводят ранжировку объекто

45

ГЛАВА 3

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКСПЕРТНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ

3.1.Экспертные оценки

имодели бинарного выбора

3.1.1. Концептуальные основы моделирования экспертных предпочтений

В предыдущих главах достаточно подробно изложен математический аппарат, применяемый в настоящее время (и не без успеха) в различных схемах получения и обработки эксперт­ ной информации, используемой в задачах обоснования управлен­ ческих решений. И все же во всех этих схемах, несмотря на их разнообразие, по преимуществу используются методы из одного и того же вышеописанного набора. К этому набору можно доба­ вить балльное оценивание и простое ранжирование, которые в силу своей распространенности и того, что не приводят к полу­ чению более надежных оценок, чем метод парных сравнений, не рассматривались среди вышеизложенных. Можно вспомнить и медиану Кемени, процедура нахождения которой достаточно сложна и поэтому редко используется в практике получения груп­ повых оценок.

Однако в каком бы составе мы не рассматривали эти методы, их главная особенность в том, что для числового представления получаемых результатов в основном используются номинальные и ранговые шкалы. Этим и объясняется, на наш взгляд, тот консер­ ватизм, который утвердился в отношении методов обработки экс­ пертной информации. Его природа очевидна: низкая разрешающая способность экспертов, которая служит непреодолимым барьером для повышения точности экспертных оценок. Возникает естествен­ ный вопрос: "Какой смысл в разработке новых подходов и более точных методов, если они из-за указанного барьера не приводят к уточнению финальных результатов?" Трудно возразить этому тези­ су. И все же смысл есть. Он появляется в тех случаях, когда меняется привычное представление о сути решаемых задач.

47

здесь идеи. Наше предложение заключается в том, чтобы инту­ ицию и знания экспертов применить для формирования специаль­ ного набора данных псевдовыборки, по которым оцениваются ко­ эффициенты модели, имеющей, в отличие от непосредственных экспертных оценок, многоплановое применение: анализ, оценка значимости факторов, прогноз ожидаемых событий и т.п. Есте­ ственно, это значительно расширяет область практического ис­ пользования экспертных решений.

Реализация данного подхода предполагает введение бинарной переменной со следующим смыслом:

_ I \, если, по мнению эксперта, событие должно произойти; J О, в противном случае.

Будем считать, что значение этой переменной, характеризу­ ющей появление интересующего нас события, зависит от оценива­ емого нами набора показателей xv х2, ... , хт, и существует не­ которое множество различных вариантов х,, х2, ... , х/( этих на­ боров х;. = (хп, хп, ... , хш), отличающихся друг от друга все­ ми или некоторыми своими компонентами (оцениваемыми пока­ зателями). Предполагается, что у каждого эксперта есть представ­ ление о том, при реализации каких вариантов ожидаемое собы­ тие будет иметь место, а при реализации каких — нет. Матема­ тически это предположение записывается в виде зависимости

где у* — ожидаемое значение бинарной зависимой переменной, которое k-й эксперт связывает с г'-м набором оцениваемых пока­ зателей; f(xn, ха, ... , xjm) — индексная функция, т.е. функция, принимающая всего два значения: 0 и 1; £,- — ошибка, которую может допустить k-Pi эксперт, оценивая влияние /-го набора на появление ожидаемого события (£,*— случайная переменная со значениями в номинальной шкале: I, 0, -1).

Теперь становится понятной реализация основанной на модель­ ном подходе идеи получения экспертных решений. Сначала в результате целевого опроса экспертов формируется псевдовыбор­ ка, объединяющая в себе субъективные мнения по поводу инте­ ресующих нас закономерностей, предпочтений, рейтингов, про­ гнозных оценок и т.п. Затем по данным псевдовыборки строит­ ся регрессионная зависимость (3.1), связывающая субъективные мнения с одновременным их усреднением в единую формализо­ ванную зависимость. Построенная таким образом модель, по

49