В. Давнис Прогнозные модели экспертных предпочтений

Для пробит-модели, если учесть, что df/dz = -Z(t>, выражение (3.72) переписывается следующим образом:

V(g,)=02[I-(b'X;)bx,.]V(b)[I-(bX)bx,]'. (3.73) В случае логит-модели плотность вероятности f может быть записана через функцию распределения Л как f=A(l-A). Для краткости будем писать Л, полагая Л = Л(£,•). Дифференцируя

это выражение по z, имеем

Подставляя выражение (3.74) в (3.72), получаем стандартные ошибки предельных эффектов логит-модели:

V(g,) = [A(l-A)]2[I + (l-2A)bx,]V(b)[I + (l-2A)x;b']. (3.75) Стандартные ошибки предельных эффектов, так же как и стан­ дартные ошибки расчетных вероятностей, зависят от вектора эк­

зогенных переменных.

3-3.4. Тесты для проверки линейных гипотез

Описанные выше алгоритмы дают оценки, которые являются асимптотически нормальными при стремлении размера выборки к бесконечности. Асимптотическая нормальность оце­ нок обеспечивает корректность проверки линейных гипотез от­ носительно коэффициентов модели. Опорным элементом всех статистик, используемых в этих тестах, является информацион­ ная матрица Фишера. Способ получения асимптотической оценки этой матрицы был рассмотрен выше, поэтому в даль­ нейшем изложении предполагается, что матрица Фишера нам известна.

Во всех тестах проверяется нулевая гипотеза, формальная за­ пись которой имеет следующий вид:

где R — матрица размером qx(m + 1), задающая структуру ог­ раничений; b — вектор тестируемых параметров; г — вектор раз­ мером q х 1 правой части ограничивающих условий.

Все нижерассматриваемые тесты асимптотически эквивалентны и, следовательно, обеспечивают получение одних и тех же выво­ дов. Поэтому выбор того или иного теста диктуется только кон­ кретной ситуацией и удобством применения в ней.

80

Тест Вальда. В соответствии с предположением, лежащим в основе теста Вальда, вектор оценок Rb при выполнении нулевой

В силу свойств нормального распределения статистика W имеет распределение с2(<у), и проверка нулевой гипотезы осуществляет­ ся по правилу

\не отвергнуть Н0, если W<^5 % (^); отвергнуть Н0, если W > xls чЛч)-

Рассмотрим пример, иллюстрирующий технику проверки пред­ положений относительно коэффициентов модели с помощью теста Вальда. Пусть, например, методом максимального правдо­ подобия получен вектор оценок b = (b0, by, b2, b3, b4) и требует­ ся проверить предположение о том, что Ь, =1,5, a b-^ —b4- В этом случае нулевая гипотеза записывается следующим образом:

кьч

и статистика Вальда после выполнения всех перемножений оказы­ вается равной квадрату t-статистики

где 5,2 — соответствующий диагональный элемент матрицы V(b). Есть и другая схема вычисления статистики Вальда. Ее исполь­ зование удобно в тех случаях, когда проверяется только статисти­ ческая значимость некоторых коэффициентов, т.е. гипотеза о

равенстве их нулю.

Будем считать, что независимые переменные упорядочены та­ ким образом, что проверка этой гипотезы касается первых q ко­ эффициентов. Для дальнейшего изложения этой схемы разделим вектор коэффициентов на две группы:

Ь = ЧО

где Ь, — ^-мерный вектор, а Ь2 включает (т — q) элементов. В этом случае проверяется нуль-гипотеза вида

Проверке подвергаются оценки, полученные путем максимиза­ ции функции правдоподобия 1пЦу; Ь) без каких-либо ограниче­ ний на оцениваемые коэффициенты модели. Полученные оцен­ ки, как отмечалось выше, состоятельны и асимптотически нор­ мальны, т.е.

Обращая информационную матрицу, представленную в блоч-

ном виде, по частям, получаем для подвектора Ь, матрицу вари- ации-ковариации

и нуль-гипотеза отвергается или нет по результатам сравнения с критическим значением %2(д).

82

Особенность теста Вальда в том, что в нем используются оцен­ ки, которые вычислены без учета ограничений, которые посту­ лируются в нуль-гипотезе. Это безусловное достоинство теста, так как для его реализации не требуется проведения дополнительных расчетов.

Тест отношения правдоподобия. В отличие от процедуры Валь­ да, реализация этого теста требует расчетов, связанных с макси­ мизацией функции правдоподобия без учета ограничений и с уче­ том ограничений на коэффициенты модели.

Вектор оценок с учетом ограничений имеет вид

где Ь'2 является результатом максимизации InL (у; 0; b2) no b2.

Полученная таким образом оценка является состоятельной и асим­ птотически нормальной:

Используемая в тесте статистика основана на сравнении двух оценок максимального правдоподобия, полученных максимизаци­ ей ограниченной (с учетом ограничений) и неограниченной (без учета ограничений) функций правдоподобия, т.е.

Статистика имеет распределение x2(q). Поэтому решение о том, отвергнуть или нет нулевую гипотезу, принимается аналогич­ но тому, как это делалось в процедуре Вальда.

Тест множителей Лагранжа. Применение этого теста не вызы­ вает затруднений в случае линейных регрессионных моделей. Там понятно, как определить множители Лагранжа и использовать их для расчета статистики. В случае бинарных моделей определение множителей Лагранжа не совсем простая процедура. Поэтому построение статистики основано на других принципах.

Если нулевая гипотеза верна, то две оценки — неограничен­ ная b и ограниченная Ьс должны быть очень близки. Из этого следует близость уравнений правдоподобия, решение которых по­ зволило вычислить эти оценки.

83

Причем неограниченная оценка b получена как решение системы уравнений

до-.

а ограниченная b — как решение той же самой системы, но с учетом ограничения Ь, = 0:

ожидания соответствующих уравнений правдоподобия. Взятие математического ожидания в данном случае эквивалентно замене каждой случайной величины yt ее ожидаемым значением F(x;b) или F(x; b) соответственно. Причем значения самих производных вычислены в точке Ъ.

Для рассматриваемого случая статистика множителей Лагранжа записывается следующим образом:

Она является асимптотически эквивалентной статистике Вальда W и статистике отношения правдоподобия LR и имеет распределе­ ние c2(q). Решение, отвергнуть нулевую гипотезу или нет, при­ нимается по результатам сравнения с критическим значением х1ъ*(я), т.е. процедура сравнения проводится точно так же, как это описано в тесте Вальда.

Можно значительно упростить процедуру расчета статистики множителей Лагранжа, сведя ее к построению регрессионного уравнения. Правда, для этого необходимо провести ряд не совсем простых преобразований, которые приведут к упрощенной схеме. Начнем с того, что [I,,-!,,!^!,,]"1, являясь частью матрицы, обрат-

84

ной информационной матрице Фишера, позволяет записать стати­ стику множителей Лагранжа в эквивалентном виде

Теперь вставим индивидуальные наблюдения в уравнение прав­ доподобия, которое после этой операции будет записываться как сумма логарифмов

Если наблюдения не коррелированы между собой, то можно показать, что информационная матрица Фишера представима в виде произведения производных первого порядка. Первая произ­ водная равна

Соответственно вторая производная может быть записана как

Выполним операцию взятия математического ожидания путем замены у: на F(x(b) (yi = F(x,b) + £,.):

В результате проведенного преобразования взаимно уничтожа­ ются слагаемые, содержащие F :

85

Если в преобразованном выражении убрать оператор ожида­ ния, т.е. в числителе снова вернуться к у{

= 1 7 'F_ 0 ^'W

1=1

то получаем выражение, отрицательное значение которого представимо в виде суммы произведений

Возможность такого представления непосредственно следует из того, что у2 — у. и у,(1 — J,) = 0, а правильность проверяется непосредственным перемножением.

Таким образом, имеем состоятельную оценку информационной матрицы Фишера:

Используя полученную оценку информационной матрицы, за­

;=1 ЭЬ

Упрощенный расчет этой статистики можно осуществить следу­ ющим образом. Обозначим через G матрицу (размером п х q) из соответствующих значений частных производных первого порядка

и через е я-мерный вектор из единиц. Тогда искусственная ли­

86

может использоваться для расчета статистики LM. Коэффициен­ ты такой регрессии легко рассчитываются с помощью любого ста­ тистического пакета, а значение статистики равно сумме расчет­ ных значений этой регрессии.

3.4. Эконометрический прогноз экспертных предпочтений в задачах выбора наиболее перспективных сегментов рынка

В предыдущих параграфах был предложен авторский взгляд на обработку экспертной информации и обоснована идея о возможности построения модели бинарного выбора для прогно­ зирования субъективных предпочтений. Такую модель можно ис­ пользовать, например, для решения любых прогнозных задач маркетинга, в которых имеет место выбор из двух альтернатив. Здесь же, преследуя цель продемонстрировать прикладные возмож­ ности предлагаемой модели, изложим процедуру моделирования вероятностных распределений ожидаемых результатов маркетинго­ вой деятельности ОАО "Радуга" в районах Воронежской и Курс­ кой областей. Владельцам этой компании принадлежит сеть супер­ маркетов, организованных по принципу "Пятерочки", "Магни­ та", "Перекрестка" и других известных отечественным потребите­ лям супермаркетов.

Результаты маркетинговой деятельности любой торговой ком­ пании во многом определяются уровнем социально-экономическо­ го развития районов, на территории которых осуществляется эта деятельность. ОАО "Радуга" в течение 2003 г. функционировала в 18 районах Воронежской области. Экспертным путем было ус­ тановлено, что наибольшее влияние на результаты деятельности оказали: 1) объем розничного товарооборота на душу населения (тыс. р.); 2) численность населения района (тыс. чел.); 3) уро­ вень зарегистрированной безработицы (%); 4) темп роста промыш­ ленного производства в сопоставимых ценах (в % к предшеству­ ющему периоду).

Для построения модели необходимо ввести понятие "успешная деятельность". Под успешной деятельностью будем понимать ста­ бильное получение прибыли, увеличение товарооборота, откры­ тие новых торговых точек и т.д.

87

При введенных обозначениях ("1" — "успех" компании на по­ требительском рынке того или иного района Воронежской облас­ ти и "О" — напротив, "неуспех") была сформирована табл. 3.1, отражающая взаимосвязь результатов деятельности компании с социально-экономическими показателями районов. В качестве основного источника данных для формирования этой таблицы были использованы статистические сборники, а также публикации федеральных и муниципальных органов власти.

Т а б л и ц а 3.1

Результаты деятельности ОАО "Радуга" в зависимости от уровня с циально-экономического развития районов Воронежской области в 20

88

Поскольку ОАО "Радуга" осуществляло свою деятельность на территории указанных районов Воронежской области в течение лишь одного (2003) года, то результаты моделирования, по дан­ ным табл. 3.1, очевидно, могут вызвать определенные сомнения в своей надежности. Поэтому нами было предложено привлечь к решению поставленной задачи группу экспертов, которые уточни­ ли "надежность" результата деятельности компании (т.е. указали "вероятность устойчивости", понимаемую как процент случаев успешной/неуспешной деятельности в данных условиях), превра­ тив, по сути, данные фактических наблюдений в псевдовыборку. Итоги экспертного опроса нашли отражение в последнем столб­ це табл. 3.2.

Экспертная оценка надежности взаимосвязи показателя успешност с определяющими его факторами

По данным табл. 3.2 и с использованием пакета STATISTICA 6.0 была построена логит-модель. Причем в качестве частоты по­ явления каждого наблюдения в выборочной совокупности были

89