В. Давнис Прогнозные модели экспертных предпочтений

7=1

Первое слагаемое такого комбинированного критерия ориенти­ рует на получение оценок В(//) (здесь для упрощения записи по­ ложили, что В(/, а, у, Р)= В(?))> обеспечивающих максимально возможную точность аппроксимации. Второе слагаемое выполняет роль стабилизирующего члена, минимизация которого приводит к текущим оценкам B(t), мало отличающимся от предыдущих B(f-l)- Последнее слагаемое, как и второе, выполняет роль ста­ билизирующего члена, обеспечивающего сглаживание чрезмерных скачков реакций адаптивной модели в случае появления выброс­ ных наблюдений.

Возможные значения параметра а в этом выражении остают­ ся в прежних границах 0 < а < 1, а значения параметров у и Р, определяющих долю участия каждого слагаемого в комбинирован­ ном критерии, удовлетворяют следующим неравенствам: у > О, Р> О, у + р< 1.

Решение оптимизационной задачи (4.28) с использованием РМНК позволяет записать прогнозную модель с настраиваемой

Структура рекуррентной формулы (4.31), с помощью которой осуществляется пересчет текущих значений коэффициентов адап­ тивной регрессии, зависит от граничных значений параметров у и р. Если ввести обозначения

150

то возможные варианты этой рекуррентной формулы удобно пред­ ставить в виде табл. 4.10.

Приведенная таблица убедительно демонстрирует расширение возможностей моделей с настраиваемой структурой адаптивного механизма по сравнению с обычными адаптивными и статическими моделями прогнозирования. Если данные таковы, что более точ­ ная экстраполяция получается с помощью статической модели, то в процессе настройки параметров получаем у = 1 и (5 = 0, т.е. адаптивная модель вырождается в обычную регрессионную (мы имеем дело с "нулевой адаптацией"). Если же результаты настрой­ ки приведут к значениям у = 0 и (5 = 0, то рекуррентная форму­ ла (4.31) принимает вид обычной адаптивной регрессии (4.24).

Рассмотренные выше адаптивные многофакторные модели рег­ рессии принято называть одношаговыми, поскольку в этих моде­ лях корректировка текущих коэффициентов осуществляется толь­ ко по одному новому наблюдению. Для ситуаций, в которых появляются отдельные наблюдения с высокой долей случайной составляющей, эти модели подвержены "вибрации", когда слиш­ ком часто происходят разнонаправленные корректировки коэффи­ циентов модели, что естественным образом снижает надежность получаемых с ее помощью прогнозных оценок. Хотя эта пробле­ ма частично решается за счет применения моделей с настраива­ емой структурой адаптивного механизма, однако в случаях частого

151

появления новых наблюдений с высоким уровнем ошибок необ­ ходимо использовать другой класс моделей — многошаговых адап­ тивных.

В этих моделях используется идея корректировки текущих ко­ эффициентов не по одному, а по нескольким наблюдениям одно­ временно. Принципы построения таких алгоритмов рассматрива­ лись в работах [1, 24, 42, 46], в которых основное внимание было уделено изучению отдельных статистических свойств и уско­ рению сходимости оценок, получаемых с помощью многошаговых алгоритмов. Вопросы применения многошаговых алгоритмов не­ посредственно для создания адаптивных моделей социально-эко­ номических процессов с расширенным диапазоном упреждающих расчетов обсуждались в работе [13].

Ключевой формулой в схеме многошагового рекуррентного оце­ нивания является формула Шермана — Моррисона — Вудбери [41]

(С + Х'Х)"1 =С~1 -С'1 Х'(ХС"1 Х'+1)~'ХС-'. (4.35)

Для случая, когда вектор поправок адаптивной модели опре­ деляется по группе из п наблюдений, экстремальная задача вычис­ ления оценок коэффициентов с использованием экспоненциаль­ но взвешенного квадратичного критерия записывается следующим образом:

где 1л — единичная матрица порядка п; Ynt = (у,_п+{,..., у)' — «-мер­ ный вектор-столбец с последней компонентой, равной значению

временного ряда в момент времени t, Хт — (« х т) — матрица, пос­ ледняя строка которой содержит значения независимых переменных в момент /, т.е.

152

В этой модели в обозначении текущего коэффициента регрессии B(t,a,n) используется параметр я, чтобы подчеркнуть зависимость его значения от количества одновременно обрабатываемых на каж­ дом шаге наблюдений.

Вариант модели с настраиваемой структурой многошагового адаптивного механизма выглядит следующим образом:

а

Прогнозные расчеты с помощью описываемой модели требуют знания начальных значений B(-l), B(0), CQ1 И оптимальных па­ раметров а = а*, у = у", /? = /?*,« = «*.

Изложенное позволяет сделать вывод о том, что адаптивные регрессионные модели являются гибким и достаточно эффектив­ ным аппаратом прогнозных расчетов. Однако этот аппарат в ос­ новном применим только для решения задач краткосрочного про­ гнозирования. Для нас интерес представляют не прогностические возможности этих моделей, а возможности их адаптивного меха­ низма перенастраивать модель с одной прогнозной траектории на другую. Именно это свойство потребуется при построении ком­ бинированной модели.

4.4. Имитационное моделирование на основе адаптивной схемы прогнозных расчетов

Имитационные модели. Построение комбинированных моделей предполагает предварительное получение экспертных ва­ риантов развития прогнозируемого процесса. Естественно, в этих вариантах отражена субъективная точка зрения, и механизм ее

153

формирования не всегда понятен. И все же что бы ни отражали эти варианты, они должны иметь количественное выражение. Зная, что эксперты в числовых шкалах не работают, и руковод­ ствуясь намерением повысить надежность экспертных оценок, будем формировать для экспертного опроса альтернативные вари­ анты. В качестве инструмента для формирования этих вариантов будем использовать адаптивно-имитационную модель, которая, по сути, является также комбинированной. Описание данного инст­ румента начнем с имитационного моделирования.

В основу имитационного моделирования положена понятная на интуитивном уровне и доступная для практической реализации идея подражания поведению моделируемого объекта, что делает его универсальным с позиций применения в различных областях человеческой деятельности. Эта универсальность, как показало изучение литературы [3, 4, 44, 56, 69], в которой исследуются вопросы имитационного моделирования, дает право на существо­ вание различных точек зрения на понятие "имитация". С позиции моделирования социально-экономических процессов наиболее точ­ ное, на наш взгляд, определение имитации как метода модели­ рования можно найти в [38, с. 232]. Там под имитационным моделированием понимается "процесс создания модели и ее экс­ периментальное применение для определения изменений реальной ситуации".

Однако все авторы едины в одном — они рекомендуют исполь­ зовать аппарат имитационного моделирования при решении наи­ более сложных слабоструктурированных задач. Особо же эффек­ тивным, а в некоторых случаях, возможно, и единственным ме­ тодом исследований имитационное моделирование становится при изучении социально-экономических процессов. Прежде всего это связано с высоким уровнем сложности таких процессов и неопре­ деленностью условий, в которых они протекают, в силу чего для них, как правило, не удается получить удовлетворительное пред­ ставление с помощью моделей классического типа. Более того, проведение экспериментов на реальных объектах социально-эконо­ мической природы с целью получения необходимой информации, очевидно, невозможно ввиду существования потенциальной опас­ ности проявления негативных последствий. По этому поводу в [3] отмечается, что методы имитационного моделирования предостав­ ляют возможность широкомасштабного использования математи­ ческого аппарата и вычислительной техники для эксперименталь­ ного исследования динамики процессов в сложных системах, где

154

или затруднительно, или невозможно осуществлять прямой "на­ турный" эксперимент.

Сама по себе имитация может осуществляться с разной степе­ нью детализации и с разным уровнем понимания характера ими­ тируемых процессов. Удачная, с нашей точки зрения, классифи­ кация имитационных моделей в зависимости от требования к урввню точности воспроизведения реальных процессов предложена в [11]. Там все математические модели, с помощью которых до­ стигается подражание в области законов, определяющих функци­ онирование реального объекта, отнесены к имитационным систе­ мам первого ранга. Модели, обеспечивающие подражание не только в области законов, но и случайных величин, считаются имитационными системами второго ранга. И, наконец, имита­ ционные системы третьего ранга позволяют осуществлять подра­ жание реальным объектам как в области поведения, так в обла­ сти законов и случайных величин.

Наибольший интерес для нас представляют модели второго и третьего рангов, с помощью которых удается получать наиболее правдоподобные варианты траекторий поведения изучаемых соци­ ально-экономических процессов. В них предусматривается при­ менение метода Монте-Карло, авторами которого являются Дж. Нейман и С. Улам. Подробное изложение этого метода можно найти в работах [20, 50]. Точность подражания реальным процессам в значительной степени зависит от правильности вы­ бора используемых в имитационных моделях законов распределе­ ния случайных величин. Правильность выбора, в свою очередь, обусловлена точностью идентификации этих законов и соответ­ ствующих параметров. Идентификацию, как правило, проводят на основе статистического материала с помощью критерия согла­ сия. Таким образом, правдоподобность имитации зависит от двух составляющих: адекватности, с которой моделируются законы, характеризующие взаимосвязь процессов, и точности воспроизве­ дения случайных величин.

Проблемы, возникающие в процессе имитации, как прави­ ло, напрямую связаны с модельным представлением этих со­ ставляющих. Если говорить о первой составляющей, то коротко суть проблемы в следующем. Обычно в имитационных моделях закономерности отражаются в виде формализованных соотноше­ ний и уравнений с неизменной во времени структурой, и все расчеты ведутся в предположении, что эта структура сохранится в будущем. На самом деле динамичность современных процес-

155

сов не подтверждает правильность таких предположений. Ско­ рость изменений так высока, что даже в краткосрочных прогно­ зах возникает необходимость в отражении структурной неста­ бильности.

Аналогичные проблемы касаются и второй составляющей. Параметры распределений, используемых для получения псевдо­ случайных величин, как правило, находятся в постоянном дрей­ фе. Это обычное явление для процессов, не удовлетворяющих свойствам стационарности. Становится очевидным, что если эти проблемы оставить незамеченными при построении имитационной модели, то уровень подражания естественным образом снизится, сделав модель неправдоподобной, а следовательно, и не пригод­ ной для получения достоверных прогнозных оценок. В работах [13, 28] было предложено использовать в подобных ситуациях комбинирование адаптивного и имитационного подходов, один из вариантов которого описан ниже.

Адаптивно-имитационные модели. Схема имитационных расче­ тов с использованием адаптивных моделей зависит от свойств самой адаптивной модели и специфики решаемой задачи. Поэто­ му каждый раз при построении адаптивно-имитационной моде­ ли возникает необходимость в ее уточнении применительно к конкретной ситуации. Обычно уточненную схему, обладающую, в отличие от общей, более детальным описанием, реализуют в виде программы для ПК и, таким образом, переходят от мате­ матической формы к машинному аналогу модели, с помощью которой и осуществляются имитационные эксперименты. В ка­ честве специфических особенностей, применительно к которым уточняется общая схема имитации прогнозных вариантов с помо­ щью адаптивной модели, выступают ее многошаговость и настраи­ ваемая структура.

Имитационная модель, построенная на базе многофакторной с настраиваемой структурой многошагового адаптивного механизма, в [13] описывается с помощью приведенного ниже набора парамет­ ров, переменных и рекуррентных формул вычислительной схемы.

Оцениваемые параметры:

В'(0 = (bv,b2l,...,b ) — усредненное текущее значение вектора коэффициентов многофакторной адаптивной модели;

В;(г) = Ф[,,Ь'2,,...,Ь'ш) — текущее значение вектора коэффициен­ тов, используемых для расчета отклика адаптивной модели в /-м эксперименте;

156

те, se — математическое ожидание и среднеквадратическое от­ клонение ошибки предсказания;

т£, sE — математическое ожидание и среднеквадратическое от­

еп — случайная величина с известным законом распределения, имитирующая в i-u эксперименте ошибку предсказания адаптив­ ной модели в момент г,

£ . — случайная величина с известным законом распределения, имитирующая в /-м эксперименте ошибку аппроксимации адаптив­ ной модели в момент /.

Процедуры моделирования случайных величин:

F — процедура моделирования псевдослучайных чисел, имити­ рующих ошибку предсказания;

Y — процедура моделирования псевдослучайных чисел, имити­ рующих ошибку аппроксимации;

Экзогенные переменные:

х, = (хи,х2(,...,хт1)— вектор-строка значений независимых пе­ ременных в момент Г;

Х-ш ~ (х/-л+1>х/-л+2>---.х,)'— матрица из вектор-строк независи­ мых переменных;

Эндогенные переменные и величины:

Ч'п-и = (Уг-п+2>Уг-п+э>—> yt) — вектор-столбец из (п~ 1) фак­ тического значения зависимой переменной;

Х,-и =(&-„+2'.У/-п+з'---'й) ~ вектор-столбец из ( я - 1 ) рас­ четного значения зависимой переменной;

S't+u — вариант прогнозного значения зависимой переменной, полученный как результат /-го имитационного эксперимента;

у{ — прогнозное значение зависимой переменной, усреднен­

ное по серии из N имитационных экспериментов;

157

л'+Т'^г'+Г- соответственно нижняя и верхняя границы вариа­ ции прогнозных вариантов в момент t + 1;

Л,+ 1— размах возможной вариации прогнозных вариантов в

158

Такая имитационная модель, построенная на основе много­ шаговой адаптивной с настраиваемой структурой, отличается, прежде всего, от обычной адаптивной принципом, в соответ­ ствии с которым рассчитываются коэффициенты модели и про­ гнозные значения. Здесь оценки коэффициентов модели вычис­ ляются для упреждающих, а не для текущих моментов времени. Это удается достичь за счет использования в вычислительной схеме имитируемой ошибки предсказания, что фактически пре­ вращает адаптивную модель с запаздывающей реакцией на про­ исходящие в моделируемом процессе изменения в модель с мгно­ венной реакцией.

Кроме того, в модели частично сохранена обратная связь, что отражено в комбинированной структуре вектора рассогласованно­ сти Е , в котором ошибки аппроксимации являются величинами реального уровня рассогласования, а ошибка предсказания харак­ теризует имитируемую величину рассогласования.

В целом, модель ориентирована на применение в задачах уп­ равления экономическими объектами, когда для разработки про­ гнозных решений необходимо выяснить допустимо возможные варианты развития изучаемых объектов.

Из множества допустимо возможных формируются варианты для экспертного опроса. Это обеспечивает реальность эксперт­ ной траектории. Строгих предписаний относительно способа формирования нет. Смысл простейшего в том, чтобы в каче­ стве вариантов взять значения, равномерно распределенные между минимально и максимально возможными вариантами, полученными с помощью адаптивно-имитационной модели. Способ универсальный, однако в каждом конкретном случае в силу, как правило, имеющей место специфики могут потребо­ ваться особые приемы формирования экспертного варианта прогнозной траектории. Это и недостаток, и преимущество рассматриваемого нами подхода. Нельзя сохранить строгую формализацию, когда эксперты, по сути, являются элементом моделируемой системы.

159