В. Давнис Прогнозные модели экспертных предпочтений

Т а б л и ц а 3.16

Оценки коэффициентов модели и характеристики их надежности

Var 1 - Parameter estimates (Spreadshee 1)

Distribution: MULTINOMIAL

Link function: LOGIT

Анализ табл. 3.16 позволяет:

1) сделать вывод о том, что полученные оценки коэффици­ ентов являются статистически значимыми (все стандартные ошибки меньше полученных оценок, значения статистики Вальда превосходят критический уровень и все вероятности ошибки меньше 0,05);

2) записать аналитическое выражение для построенной муль­ тиномиальной логит-модели:

ПО

20,82-4,71х, -2,40х2 -5,15х3 +0,22х4

P(y=i)=

j + e17,17-6,12x,-l,7ac2-5,9h-3+0,38x4 + 20,82-4,71лг1-2,4аг2-5,15гз+0,22х4

Анализ табл. 3.17 позволяет сделать вывод, что построенная модель обеспечивает достаточно точное предсказание наиболее предпочтительных типов предприятий общественного питания, которые будут успешны в соответствующих условиях. Полужир­ ным шрифтом в этой таблице выделены те случаи, в которых предсказания были недостаточно точны.

Т а б л и ц а 3.17

Предсказанные значения вероятностей

Данные табл. 3.18 позволили оценить пригодность модели в целом с помощью индекса отношения правдоподобия Макфаддена:

Рассчитанное таким образом значение индекса свидетельству­ ет об адекватности построенной логит-модели, хотя может пока­ заться и не очень высоким. Однако нужно помнить, что нас интересует не точность аппроксимации распределения, а предска­ зание возможности появления самого события (возможность появ-

111

ления события считается предсказанной, если расчетная вероят­ ность данного события выше остальных).

Используя построенную модель, рассчитаем вероятности успеха в случае выбора инвестиционного проекта, связанного с рестора­ ном, кафе и бистро, при условии:

¥(у = 0) = 0,0002; Р(у =1) = 0,0056; P(j = 2) = 0,9942;

?{у = 0) = 0,9322; Р(у = 1) = 0,0678; ?{у = 2) = 0,0000.

В первом случае наиболее вероятен успех при выборе проек­ та, связанного с бистро, а во втором — ресторана.

Предельный эффект имеет смысл рассчитывать только для фактора х4:

1) для первого случая:

bl4 = 0,0002 • 0,3843 + 0,0056 • 0,2287 = 0,0014; 510 = 0,0002 • (0,3843 - 0,0014) = 0,0001; <5И =0,0056- (0,2287 -0,0014)=0,0013;

Sn = 0,9942 • (0 - 0,0014)= -0,0014; 2) для второго случая:

Ь24 = 0,9322 • 0,3843 + 0,0678 • 0,2287 = 0,3738; 520 = 0,9322 • (0,3843 - 0,3738)=0,0098; <521 = 0,0678 • (0,2287 - 0,3738)= -0,0098;

522 =0,0000 (0 -0,3738)= 0,0000.

112

Анализ предельных эффектов показывает, что в первом случае рост числа обслуживаемых одновременно клиентов увеличивает вероятность выбора среди рассматриваемых вариантов в первую очередь кафе, а затем — ресторана. Во втором случае увеличива­ ется вероятность выбора только ресторана. Причем увеличение вероятностей выбора одних вариантов происходит за счет умень­ шения вероятности выбора других.

Для остальных факторов в силу их дискретного характера сле­ дует рассчитывать непосредственно вероятности. Например,

для х, = 2 при х2 = 3; х3 = 2; х4 = 25; Р(у = 0) = 0,0517; Р(у =1) = 0,3703; Р(у = 2) = 0,5780;

для JC, = 1 при х2 = 3; х3 = 2; х4 = 25;

Р(у = 0) = 0,3589; ?(у =1) = 0,6323; ?{у = 2) = 0,0088; Получаемые распределения сравниваются с исходным и дела­

ются соответствующие выводы. В случае х, = 2 предпочтитель­ ность выбора не изменилась, а в случае х, = 1 предпочтительнее выбрать кафе.

3.5.3- Пробит- и логитмодели множественного выбора в ранговых шкалах

Среди задач, решаемых экспертами, наиболее попу­ лярна задача ранжирования. Прямые методы решения этой задачи детально были рассмотрены во второй главе. Здесь, продолжая развивать идею построения моделей по данным, представляющим результаты экспертного опроса, рассмотрим схему построения пробит- и логит-моделей множественного выбора для случая, когда моделируемая переменная измеряется в ранговой шкале.

Опишем несколько ситуаций, формализация которых приводит

кзадачам подобного рода:

1.Расчет рейтинговых оценок облигаций по независимому оп­ росу экспертов.

2.Определение рейтинга банков по их надежности.

3.Моделирование результатов дегустационных тестов.

4.Установление приоритетов по результатам обследования об­ щественного мнения.

5.Выяснение приоритетности социальных программ по резуль­ татам голосования.

Для моделирования подобных ситуаций будем считать, что есть переменная у", значения которой определяются некоторым набором объясняющих переменных в соответствии с зависимостью

113

Переменная у* — ненаблюдаемая величина, но известны зна­ чения дискретной переменной, которые в нашем представлении связаны с ненаблюдаемой следующими соотношениями:

у - О, если у' < 0; у = 1, если 0 < у' < /I,;

у = 2, если Hi<y* ^ Ц2;

(3.112)

у = J, если \ij_i < у" .

Неравенства реализуют некую форму цензурирования. Причем уровни цензурирования ц. неизвестны и представляют собой пара­ метры, оцениваемые вместе с коэффициентами Ь.

Заменим в неравенствах ненаблюдаемую переменную ее модель­ ным представлением и вычтем xb из каждой части:

у = 0, если е < -xb;

у = 1, если -xb < £ < /Xj — xb;

у = 2, если fit - xb, < e < ]Х2 - xb;

(3.113)

y = J, если /*,_,—xb<£ .

Будем считать, что случайная величина е нормально распреде­ лена по наблюдениям и, кроме того, нормирована таким обра­ зом, что имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. В случае построения логит-модели предполагается, что случайная величина е имеет логистическое распределение.

Для пробит-модели выписанные неравенства позволяют запи­ сать следующие вероятности:

Р(у = 0) = Ф(-хЬ); Р(у = 1) = ф( ^ - хЬ)-Ф(-хЬ);

Р(у = 2) = Ф(А12-А)-Ф(/х1-хЬ);

(3.114)

Р(у = У) = 1-Ф(/*,_,-*).

Чтобы все вероятности были положительными, оцениваемые параметры положения должны удовлетворять неравенствам

114

Смысл параметров положения хорошо иллюстрирует рис. 3.4.

xb ji3 - x b

Рис. 3.4. Вероятности в упорядоченной пробит-модели Если учесть, что

где г, =/*£„[ ~~ xb, z2 = Hk ~~ xb, то становится понятным, как построить логарифмическую функцию правдоподобия. Любой из ранее рассмотренных методов позволяет оптимизировать функцию правдоподобия и получить искомые параметры положения и ко­ эффициенты модели. Поэтому не будем рассматривать детали этого процесса, а более подробно остановимся на анализе и ин­ терпретации результатов моделирования.

Для пояснений рассмотрим упрощенный пример, в котором с помощью нормального распределения моделируется ситуация из трех категорий с одним неизвестным параметром положения ц:

Р(у = 0) = 1-Ф(хЬ);

Р(у = 1) = ф( ju - хЬ) - Ф(-хЬ);

Р(у = 2) = 1-Ф(^-хЬ).

Модель нелинейная, и поэтому предельные эффекты факторов не равны коэффициентам. Дифференцирование уравнений по любому из факторов приводит к соотношениям

дР(у = 0)

Эх, = -ф(хЬ)Ьк;

115

—^ '- = [ф(-хЪ)-ф(1и-хЪ)]Ьк; dxt

дхк

Таким образом, предельный эффект — это величина, перерас­ пределяемая между вероятностями полученного распределения. При­ чем сумма всех изменений рана нулю. Действительно, в рассматри­ ваемом примере при Ьк > О вероятность события у = О уменьшает­ ся на ф(хЬ)Ьк. Одновременно с этим вероятность Р(у = 1) увеличи­ вается на эту же величину и уменьшается на ф (/и — xb)bk, а веро­ ятность Р(у = 2) — увеличивается на ф (/и — xb)bk. Нетрудно заме­ тить, что при положительном Ьк смещение вероятности происходит вправо, а при отрицательном Ьк — влево. Из этого следует, что увеличение факторной переменной, когда коэффициент при ней положителен, приводит к увеличению вероятностей тех событий, которые получили более низкие ранги. Происходит как бы дефор­ мирование кривой плотности вероятностей с перемещением неко­ торой вероятностной массы (площади под кривой) слева направо. В случае отрицательного коэффициента все происходит наоборот. Весь этот механизм хорошо показан на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Изменения распределения вероятностей под воздействием предельных эффектов

Для каждой /-й ситуации можно вычислить энтропию точно так же, как это делалось в модели множественного выбора. Энтропию удобно использовать для оценки информационного эффекта, яв­ ляющегося следствием предельного эффекта.

116

Рассмотренные выше основные аспекты построения моделей множественного выбора в ранговых шкалах свидетельству­ ют о возможности использования этих моделей для решения раз­ личных экономических задач, в том числе, задач практического маркетинга. Как известно, одной из ключевых проблем, перио­ дически возникающих перед любой компанией, является префе­ ренция условий ведения бизнеса, т.е. выбор наиболее предпоч­ тительных альтернатив реализации продукции, рыночных ниш, партнеров по бизнесу, экономических зон хозяйствования и т.д.

Изложим результаты исследования, проведенного с целью выбора наиболее благоприятных районов Воронежской области для реализации коммерческой деятельности ОАО "Спектр". Заметим, что эта компания имеет организационную структуру и целевые задачи такие же, как ОАО "Радуга", о котором уже шла речь в этой главе (см. 3.4).

Исходя из критерия "минимум затрат на проведение маркетин­ говых исследований", для реализации поставленной цели исполь­ зовалась информация, предоставленная Главным управлением экономического развития администрации Воронежской области.

Экспертным путем были отобраны семь показателей, играющих в совокупности ключевую роль в задачах обоснования решений, связанных с выбором наиболее привлекательных районов для ве­ дения торговой деятельности. Однако статистически значимыми показателями оказались только четыре: I) объем промышленной продукции (работ, услуг) в действующих ценах, млн р.; 2) сто­ имость валовой продукции агропромышленного комплекса в дей­ ствующих ценах, млн р.; 3) оборот розничной торговли (по всем каналам реализации) в действующих ценах, млн р.; 4) средняя заработная плата, р.

Кроме того, с помощью процедуры экспертного опроса были получены обобщенные оценки степени инвестиционной привлека­ тельности (для ведения торговли) каждого из районов, в котором ОАО "Спектр" осуществляло свою деятельность. Рейтинговое оценивание проводилось в соответствии со следующей шкалой:

0 — самая высокая степень привлекательности;

1 — высокая степень привлекательности;

2 — средняя степень привлекательности;

3 — низкая степень привлекательности;

4 — крайне низкая степень привлекательности.

117

Врезультате была сформирована табл. 3.19, данные которой

ибыли использованы для построения логит-модели множествен­ ного упорядоченного выбора.

Встратегические планы ОАО "Спектр" на 2005 г. входило расширение сети супермаркетов за счет освоения новых рынков сбыта в других районах Воронежской области. Показатели, харак­ теризующие уровень социально-экономического развития планиру­ емых для освоения районов, представлены в табл. 3.20.

По итогам выполнения необходимых действий в пакете STATISTICA 6.0 были получены расчетные характеристики модели, которые от­ ражены в табл. 3.21— 3.23.

Т а б л и ц а 3.19

Рейтинговые оценки районов Воронежской области в зависимости от уровня их социально-экономического развития

118

119