архитектура вычислительных систем / Лабораторные работы / Лаб_4_Осн логики 1

Лабораторная работа № 4.

Основы логики.

Логика – это наука о формах и способах мышления. Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.

Понятие – это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющее отличать их от других.

Высказывание – это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным высказывание будет в том случае, когда оно противоречит реальной действительности.

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение (знание или вывод).

Алгебра – наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. В алгебре высказываний можно определить понятия логической переменной, логической функции, логической операции.

Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение – латинская буква. Значением логической переменной могут быть только константы 0 (ложь) или 1 (истина).

Составное высказывание – логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. На основе простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Логические операции – логические действия.

Конъюнкция & ()	Дизъюнкция V	Инверсия (отрицание)	Импликация 	Эквивалентность 
А В А&B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1	А В АVB 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1	А А 0 1 1 0	А В АB 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1	А В АB 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него высказывания (умножение)	Истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний (сложение)	Отрицание применяется к одному высказыванию	Ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки следует ложный вывод	Истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Если составное высказывание (логическую функцию) выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится логическое выражение. Значение логического выражения можно вычислить, оно может быть равно 0 или 1.

Замечание. Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.

Таблицы истинности.

Логические задачи обычно формулируются на естественном языке. При их решении сначала их необходимо формализовать, то есть записать на языке алгебры высказываний. Полученные логические выражения необходимо упростить и проанализировать. Для этого иногда бывает необходимо построить таблицу истинности полученного логического выражения.

Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех наборах его переменных.

Алгоритм построения таблиц истинности.

1. Определить количество строк в таблице = 2^ n, где n – количество переменных в высказывании.

2. Определить количество столбцов в таблице = количество переменных + количество операций.

3. Установить последовательность выполнения логических операций.

4. Построить таблицу истинности, ввести заголовки столбцов и наборы значений исходных логических операций.

5. Заполнить таблицу истинности выполняя предписания заголовков столбцов.

Порядок выполнения логических операций

Действие в скобках Инверсия & V  

Пример. Построить таблицу истинности для выражения (АVB)(AVB)

A	B	AVB	A	B	AVB	(АVB)(AVB)
0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Замечание. Логические выражения у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными (обозначение = ).

Пример. Доказать равносильность A&B = (AVB)

Теорема 1. Всякая сложная логическая функция может быть сведена к дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ).

Теорема 2. Всякая сложная логическая функция может быть сведена к конъюнктивной нормальной форме (КНФ).

Дизъюнктивная нормальная форма – это сумма произведений, образованная из переменных и их отрицаний. ДНФ не содержит скобок.

Например. А V B&C A&B&C V B&C A B – ДНФ

D&(B V C) – не ДНФ

Конъюнктивная нормальная форма – произведение сумм, состоящих из переменных и их отрицаний.

Например. (AVB) & C A & B & (CVB) C A CVB – КНФ

A & (B & DVC) - не КНФ

3