алгебра / дополнительная лит-ра / А.П. Мул методичка
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра «Прикладная математика»
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗА 1 СЕМЕСТР
Часть 1: Линейная алгебра. Векторная алгебра
Методические указания
Ростов-на-Дону 2011
1
Составители: Ф.Л. Абуев, А.П. Мул, Г.Ю. Рябых, Н.В. Фролова
Основные задачи по математике за 1 семестр. Часть 1: Линейная алгебра. Векторная алгебра: методич. указания. – Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2011. – 10 с.
Методические указания содержат рекомендации по проведению практических занятий и задания для самостоятельной работы по общему курсу математики за первый семестр.
Предназначены для студентов очной и заочной форм обучения всех факультетов.
Печатается по решению методической комиссии факультета «Информатика и вычислительная техника»
© Издательский центр ДГТУ, 2011
2
Линейная алгебра
Матрицы и действия над ними
Определение: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Числа aij называются
элементами матрицы, индекс i указывает номер строки, индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент.
Если матрица имеет вид строкm и столбцовn, то m n – называется размером матрицы. Если m n, матрица называется квадратной. Две матрицы одного размера называются равными, если равны их соответственные элементы. Если все элементы матрицы равны нулю, то она называется нулевой, если элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице, а
остальные нулю – единичной. |
|
|
|
|
|
||
Над матрицами проводят следующие операции: |
|
|
|||||
1) Сложение. |
Пусть |
A (aij ), |
B (bij )– |
матрицы одного раз- |
|||
мера, тогда C A B (aij |
bij ) cij . |
|
|
||||
1 2 |
1 5 |
|
0 |
3 |
|||
Пример: A |
|
B |
|
|
C A B |
|
|
3 4 |
|
2 |
1 |
|
1 |
5 |
2)Умножение матриц на число. Пусть A (aij ), R ,
тогда A ( aij )
1 |
2 |
|
; |
2 ; |
2 |
4 |
|
||
Пример: A |
3 |
4 |
|
2A |
6 |
8 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
3) Умножение матриц. Операция определяется для матриц вида A (aij )m p , B (Bij )p n , т.е. число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы. Произведением матриц A и B называется матрица C (cij )m n , элементы которой
Cij ai1 b1j ai2 b2 aip bpj
1 |
2 |
4 |
, |
3 |
1 |
||||
Пример: A |
5 |
10 |
2 |
|
C |
4 |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 3 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 3 2 |
3
1 3 2 4 4 ( 7) |
1 1 2 2 4 11 |
, |
33 |
41 |
||
C A B |
|
C A B |
41 |
47 |
|
|
5 3 10 4 2 ( 7) 5 1 10 2 2 11 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 2 |
Обратная матрица Определение: Определителем квадратной матрицы называется число, определяемое по правилу
1) Пусть A |
a11 |
|
a12 |
, тогда её определитель |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
a11 a22 a12 a21 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
a a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
21 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Пусть A – квадратная матрица n-го порядка. Тогда |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
a |
|
a |
|
|
|
a |
a |
|
|
a a |
|
|
|
a |
a |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
| A| |
11 |
12 |
|
13 |
|
a |
a |
|
a |
|||||||||||||||
|
a a |
|
a |
22 |
23 |
|
21 |
23 |
|
21 |
22 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
21 |
22 |
|
23 |
|
11 |
a |
a |
|
12 |
a a |
|
13 |
a |
a |
|
|||||
|
|
|
|
a a |
|
a |
|
|
|
32 |
33 |
|
|
31 |
33 |
|
|
31 |
32 |
|
||||
|
|
|
|
31 |
32 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично можно найти определители квадратных матриц любого порядка.
Определение: Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Если определитель матрицы отличен от нуля, матрица A называется невырожденной. Любая невырожденная матрица имеет обратную.
Определение: Обратной матрицей к A называют матрицу A 1 того же размера, удовлетворяющую условию A A 1 A 1 A E , где
E – единичная матрица. Матрица A 1 |
находится по формуле |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
11 |
A |
21 |
... A |
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
|
|
|
A |
|
A |
|
... A |
|
, |
||
A |
|
|
|
|
|
|
12 |
22 |
n2 |
|
||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
A1n |
A2n |
... Ann |
|
где Aij – алгебраические дополнения соответственных элементов
матрицы A.
Пример: Найти обратную матрицу
3 |
2 |
1 |
|
||
|
|
1 |
2 |
|
, |
A 1 |
|
||||
|
2 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
4
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
3 ( 9) 2 1 1 4 33; |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A11 |
|
1 |
2 |
|
9; |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A21 |
|
2 |
1 |
|
12; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A31 |
|
2 |
1 |
|
3; |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A12 |
|
1 |
|
|
2 |
|
1; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A32 |
|
3 |
1 |
|
|
7; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A22 |
3 |
|
1 |
17; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|||||||
A13 |
|
1 |
|
1 |
|
4; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
|
|
3 |
2 |
|
2; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
23 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
A33 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
5, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
9 |
|
12 |
3 |
||||||||
A |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
17 7 |
|
|||||||||
|
33 |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторная алгебра |
Координаты вектора – проекции этого вектора на оси координат. Пусть A(x1,y1,z1) и B(x2 , y2 ,z2 ) – точки. Тогда вектор
AB (x2 x1, y2 y1,z2 z1).
Пример: A(1,2, 1); B(2,5,1); AB (2 1,5 2,1 1) (1,3,2)
5
Сумма векторов
Если a (ax,ay,az ), b (bx,by,bz ),
то a b (ax bx,ay by,az bz )
Пример: a (2,3,5), b (4,1,6), a b (2 4,3 1,5 6) (6,4,11)
Умножение на число
a ( ax, ay, az ) ( ax, ay, az )
Пример: 5a (10,15,25),
2a 3b 2(2,3,5) 3(4,1,6), 2a 3b (16,9,28)
Длина вектора
a (ax )2 (ay )2 (az )2
Пример: a (3,4,5), a 32 42 52 50 52.
Скалярное произведение
|
Обозначение: ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
cos |
|
|
|
||||||
|
Определение: ab |
a |
|
|
||||
|
Формула вычисления: |
|||||||
|
a (ax,ay,az ), b (bx,by,bz ); |
|||||||
|
a b (ax bx ay by az bz ). |
|||||||
Пример: a (4,5,2), |
b (3,6, 1), |
a b (40). |
Геометрическое приложение
cos ab a b
Пример:a (2, 1,2),b (4,5,3),
a b 2 4 1 5 2 3 9, a 22 12 22 9 3,
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
3 |
|
b |
|
42 52 32 |
5 |
2 , cos( ) |
|
cos( ) |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 5 2 |
5 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
Пример: a (4,8,1),
b ( 2,2,1),a b 4 ( 2) 8 2 1 9, b 4 4 1 3.
6
np a ab , np a 9 3 b b b 3
Механическое приложение
Пример: F (4,5,1), |
|
AB (7,8, 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Работа 4 7 5 8 3 65(ед.работы) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторное произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначение: a b c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.c a |
и c b ; 2. |
|
c |
|
|
|
a |
|
|
b |
|
sin ; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3. a,b,c правая тройка. |
|
|
|
|
|
|
|
k |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ay |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула вычисления: a b |
|
ax |
az |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
by |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
bz |
||
Пример: |
|
|
|
a (2,4,1), |
|
b (3, 1,5), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a b |
2 |
|
i(20 1) j(10 3) k( 2 12) 21i 7j 14k |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение векторного произведения |
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S |
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример: A(1,1,2), |
|
|
B(1,2, 1), |
C(2,1,3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
7
a AB (0,1, 3) |
|
|
|
|||||
b AC (1,0,1) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
|
||
a |
|
1 |
|
|
||||
b 0 |
3 i 3j k (1, 3, 1) |
|||||||
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S ABC 21 12 ( 3)2 ( 1)2 12 11
Момент силы |
M AB F |
|
|
|
|
|||||
Пример: |
A (1,2,3), |
B (1, 1,5), |
F 2i 5j k |
|||||||
AB (0, 3,2), |
F (2,5, 1), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
M |
0 |
2 |
i(3 10) j( 4) 6k 7i 4j 6k ( 7,4,6) |
|||||||
|
2 |
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МоментM ( 7,4,6).
Смешанное произведение Определение: (a b)c
Обозначение:(a b)c abc
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
ay |
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
by |
|
|
Формула вычисления: |
abc |
bx |
bz |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx |
cz |
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a (2,0,1), b (1, 1,0), |
|
|
c (1,1,4), |
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
2( 4) 1(1 1) 6 |
|
||||||
|
abc |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Приложение смешанного произведения
|
|
|
Vnup |
1 |
Vnap |
|
|
||||
Vnap |
abc |
|
|
||
|
6 |
||||
|
|
|
|
Пример: A1 (1,1,2), A2 (1,2, 1), A3 (3,1,4), A4 (5,4,8)
1.a A1A2 |
(0,1, 3) |
|||
b A1A3 (2,0,2) |
||||
c A1A4 |
(4,3,6) |
|||
|
0 |
1 |
3 |
|
|
0 |
2 |
|
|
abc 2 |
(12 8) 3 2 3 22 |
|||
|
|
3 |
6 |
|
|
4 |
|
2. Vnup |
1 |
|
|
|
|
1 |
22 |
11 |
|
|
|||||||
6 |
|
abc |
|
6 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
11
Vnup 3 (куб. ед.)
Условие коллинеарности векторов: x1 y1 z1 . x2 y2 z2
Условие перпендикулярности векторов: a b 0.
Условие компланарности векторов: abc 0 .
1. Найти длину вектора: |
Задания: |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
a |
(2;1; 2). Ответ: 3; |
|
|
(5i;3j; 4k). Ответ: 5 |
|
. |
а) |
б) |
|
2 |
||||
b |
2.Найти скалярное произведение векторов:
1)a (1;3;5), b ( 2;1;4). Ответ: 21;
2) |
a |
(3i j 4k), |
|
|
(2i 4j 3k). Ответ: -10. |
||||
b |
|||||||||
3. |
Найти угол между векторами: |
3 |
|
|
|||||
1) |
a (2; 1;2),b (3;5;4). Ответ: cos |
|
|
; |
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
5 |
2 |
|
2)a (7;5;1),b (3; 4; 1). Ответ: 90o.
9
4.Найти векторное произведение векторов:
1)a (3;4;5), b ( 2;1;3). Ответ: (7, -19, 11);
2)a (3i 4j 5k), |
|
(2i 2 j k). |
b |
Ответ: (6,-7,-2).
5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
a(1;1;1)и b (0;2;5). Ответ:38.
6.Найти площадь треугольника ABC, где A (1;1;2);
B (1;2; 1); |
C (2;3;4). Ответ: |
74 |
. |
|
2 |
||||
|
|
|
7. Найти смешанное произведение векторов:
a(1;1;3);b (1;2; 1); c (2;3;5). Ответ:3.
8.Найти объём пирамиды ABCD, где A (1;1;0);; B (1;2;3);
C (2;3;4);; D (4;6; 1). Ответ: 5/3.
Редактор А.А. Литвинова
________________________________________________________
В печать 28.11.2011.
Объем 0,62 усл.п.л. Офсет. Формат 60x84/16.
Бумага тип №3. Заказ № Тираж 50 экз. Цена свободная
________________________________________________________
Издательский центр ДГТУ Адрес университета и полиграфического предприятия:
344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1.
10