1-й сем-ДМ-слайды-ДГТУ / Графы-3,4 лекции / Маршр
..docxМаршруты, цепи и простые цепи1.
Пусть G- неориентированный граф.
Маршрут в G– конечная или бесконечная последовательность ребер ,
В которой два соседних ребра и имеют общую концевую точку, т. е одно и то же ребро E может встречаться в маршруте несколько раз.
A1 - начальная вершина, нет ребер перед ней;
Ao - конечная вершина нет ребер после нее!
A2
A3
Любая вершина, принадлежащая двум соседним ребрам и , называется внутренней или промежуточной вершиной. Т. к ребра и вершины в маршруте могут повторяться, внутренняя вершина может оказаться начальной или конечной вершиной. Маршрут называется нейтральным, если он содержит хотя бы одно ребро; маршрут, не содержащий никаких ребер, называется нуль - маршрутом.
Если маршрут S имеет начальную вершину и конечную вершину , то ,
и - концы маршрута S. Говорят, что S-маршрут длины n, соединяющий и .
Если =. То маршрут называется циклическим.
Для двух вершин маршрута Аi и Aj подмаршрут S(Ai , Aj)= (Ei , Ei+1 , Ej-1) называется
конечным участком S.
Маршрут называется цепью, а циклический маршрут - циклом, если каждое его ребро встречается в нем не более одного раза; вершины в цепи могут повторяться и несколько раз. Любой участок цепи есть цепь.
Нециклическая цепь называется простой цепью, если в ней никакая вершина не повторяется. Цикл с концом A0 называется простым циклом, если A0 не является в нем промежуточной вершиной и никакие другие вершины не повторяются. Участок простой цепи (цикла) -простейшая цепь (цикл)
Для ориентированного графа можно вводить как неориентированные маршруты, цепи и простые цепи, не принимая во внимание ориентации ребер, тем и ориентированные маршруты (цепи, простые цепи) в которых все ребра проходят в направлении их ориентации. Ориентированную цепь называют путем, ориентированный цикл – контуром.
Граф G называется связным, если для любых двух его вершин V и W существует простая цепь из V и W.
Любой граф можно разбить на непересекающиеся связанные подграфы, называемые компонентами (связности), задав отношение эквивалентности на множестве его вершин:
Две вершины эквивалентны (или связаны), если существует простая цепь из одной в другую. Связный граф состоит из одной компоненты. Граф несвязный, если число его компонент больше единицы
Если имея граф с n вершинами, заданным числом компонент. Если граф связан, то число ребер в нем минимально, когда он не имеет циклов (такой граф называется деревом) и максимальным, когда но – полный граф. Число ребер в таком графе m:
;
Теорема
Пусть G - простой граф с n вершинами и k компонентами. Тогда число его ребер:
Следствие
Любой простой граф с n вершинами и более, чем ребрами связан.
Насколько же сильно связан связный граф? Т. е сколько ребер нужно удалить из графа, чтобы он перестал быть связным?
Разделяющее множество связного графа G – множество его ребер, удаление которого приведет к несвязному графу.
Например, в графе, каждое из множеств и является результирующим; несвязный граф, оставшийся после удаления 2-го из этих множеств, имеет вид:
e1 e5 e6 e4
e2 e7
e8
e1 e5 e4
e2
Назовем разрезом такое разделяющее множество, никакое собственное подмножество которого не является разделяющим.
Разрез только множество . После удаления ребер , принадлежащих разрезу, оставшийся граф, имеющий 2 компоненты ровно. Если разрез состоит из 1 ребра e, то e называется мостом или перешейком.
В произвольном графе G разделяющее множество – множество ребер, удаление которого увеличивает число компонент в G. Разрез в G – разделяющее множество, никакое собственное подмножество которого не является разделяющим.
мост
e
Теорема: Если в конечном графе G ровно две вершины a0 и b0 имеют четную локальную степень, то они связаны.
Доказательство: Каждый конечный граф имеет четное количество вершин нечетной степени. Так как это условие выполняется и для целой компоненты G, которой принадлежит a0, то b0 должно принадлежать той же компоненте. Кроме того, a0 и b0 должны остаться связанными в графе H, полученном из G удалением части H, в которой все локальные степени четные.
Теорема: Если граф G с однократными ребрами и без петель имеет n вершин и k связанных компонент, то максимальное число ребер в G равно
Для случая K=2 имеем:
Граф с n вершинами и с числом ребер, большем, чем связен.