§ 4.13. Векторные пространства,

связанные с графами

Рассмотрим алгебраическую систему ₂=с двухместными операциями кольцевого сложения⊕ и умножения ⊙, задаваемыми следующими правилами: 0⊕0=1⊕1=0, 1⊕0=0⊕1=1, 0⊙0=0⊙1=1⊙0=0, 1⊙1=1. Система ₂ является булевым кольцом (см.§2.6) и, более того, образует поле.

Пусть G= связный неорграф, имеющий n вершин и m ребер . Произвольному множеству реберA R поставим в соответствие вектор =, положив

Каждому множеству ребер соответствует единственный вектор, состоящий из нулей и единиц, а для любого набора нулей и единиц найдется единственное множество ребер, соответствующее этому набору. Таким образом, существует биекция между булеаном множества реберR и множеством всех наборов длины m, состоящих из нулей и единиц: P (R)↔^m. Пусть =и=()- наборы (векторы) из^m. Определим сложение векторов с помощью соотношения ⊕=(⊕, … ,⊕)по правилам, определенным в поле ₂. Кроме этого, определим произведение векторов на элементы , положив λ⊙ =(λ⊙, … ,λ⊙). Множество векторов^m с операциями сложения ⊕ и умножения ⊙ на элементы поля ₂ образует линейное пространство над полем ₂. Это пространство обозначим через (₂).

Отметим, что сложение ⊕ векторов исоответствует кольцевой сумме множеств реберA и B, представляемых этими векторами. Действительно, равенство выполняется тогда и только тогда, когда=1,(т.е.или,(т.е.. Следовательно, сумме⊕соответствует множество (A\B)(B\A)=A⊕B.

Внутреннее произведение векторов =и=(определяется соотношением (=Равенство (=0 означает, что четное число произведений⊙равно 1. Для таких произведений =1,и, следовательно, соответствующие векторамимножества реберA и B имеют четное число общих ребер.

Множество ребер A называется границей (кограницей), если A есть объединение множеств ребер некоторых циклов (коциклов), из которых любые два множества не имеют общих ребер. Нетрудно заметить, что кольцевая сумма A₁⊕ A₂ также является границей (кограницей). Следовательно, множества V_Г=соответствует некоторойиV_K =векторсоответствует некоторойобразуют линейные подпространства пространстваV_{m 2}).

Теорема 4.13.1. 1. Если фундаментальное множество циклов графа G, то множество 𝔅_С = векторов, соответствующих фундаментальным циклам, образует базис подпространства границV_Г.

2. Если фундаментальное множество коциклов графа G, то множество 𝔅_K= векторов, соответствующих фундаментальным разрезам, образует базис подпространства кограницV_K.

Следствие 4.13.2. 1. Размерность dim V_Г подпространства границ V_Г равна цикломатическому числу , а размерностьdim V_K подпространства кограниц V_K равна корангу .

2.Любой цикл ( коцикл ) в графе можно представить в виде кольцевой суммы некоторых фундаментальных циклов (разрезов).

Два подпространства V₁ и V₂ векторного пространства V_m (₂) называются ортогональными (V₁ V₂), если для любых векторов V₁ и V₂ их внутреннее произведение (,) равно 0.

Заметим, что по теореме 4.12.3 любой цикл C с любым разрезом K имеет четное число общих ребер, т.е. для соответствующих векторов и их внутреннее произведение(,) равно нулю. В частности, для любых векторов_C и _K справедливо (,)=0. Так как множества_C и _K образуют базисы подпространств V_Г и V_K, то V_Г V_K.

Отметим также, что при умножении матрицы фундаментальных циклов C на транспортированную матрицу фундаментальных разрезов K^T в поле ₂ строка умножается на столбецпо правилу произведения и (,)=0. Это означает чтоCK^T=0, а также KC^T=0.

У п р а ж н е н и е. Проверить, что для матриц C и K из примеров 4.11.1 и 4.12.1 справедливо CK^T=0.