Примеры решения задач

1. Вывести формулы для радиуса стационарной орбиты и скорости электрона в атоме водорода и вычислить эти величины для n = 1.

Решение

По теории Бора электрон движется в атоме водорода вокруг протона по круговой орбите под действием силы кулоновского притяжения. По второму закону Ньютона для электрона:

, (1)

где ε₀ — электрическая постоянная; m — масса электрона; e — заряд электрона; v_n — линейная скорость; r_n — радиус орбиты электрона в стационарном состоянии; n — номер стационарного состояния (n = 1,2,…).

Радиус n-й боровской орбиты r_n и скорость v_n электрона на ней связаны между собой уравнением

, (2)

где h — постоянная Планка.

Решая совместно уравнения (1) и (2), получаем искомые формулы:

Положив в этих формулах n = 1 и подставив численные данные из справочной таблицы, получим:

r₁ = 0,53·10^10м, V₁ = 2,2·10⁶м/c.

Ответ: , , r₁ = 0,53·10^-10м; ₁ = 2,2·10⁶м/c.

2.Найти минимальную энергию фотона, излучаемого в серии Лаймана.

Решение:

Частота излучения атома водорода определяется по формуле Бальмера - Ритца:

,

где R — постоянная Ридберга; n, m — номера стационарных орбит электрона. Спектральная серия Лаймана образуется при n = 1. Минимальная частота излучаемого фотона в этом случае соответствует m = 2. Тогда минимальная энергия излучаемого фотона по формуле Планка:

Е_мин.= hν_1,2,

где h — постоянная Планка.

Численный расчет:

Е_мин.= hν_1,2= =6,63·10^-34·3,28985∙10¹⁵ = 1,64·10^18 Дж.

Ответ: Е_мин.= 1,64·10^18 Дж.

3.. Найти длину волны де Бройля для электрона, прошедшего из состояния покоя разность потенциалов 1 В.

Решение:

Электрон, прошедший из состояния покоя разность потенциалов U, в соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии приобретает кинетическую энергию:

Е_кин.= ,

где m — масса; e — заряд; v — скорость электрона. Отсюда получаем скорость:

и импульс электрона:

p = mv = .

Длина волны де Бройля:

= ,

где h — постоянная Планка.

Вычисления:

= = = 1,23·10^-9В.

Ответ: λ = 1,23·10^9 В.

4. Параллельный пучок электронов, летящих со скоростью 10⁶ м/с, падает на щель шириной 1 мкм. В результате на удаленном экране наблюдается дифракция Фраунгофера. Под каким углом будет виден дифракционный минимум второго порядка?

Решение:

Дифракция электронов является следствием волновой природы частиц. Длина волны де Бройля равна:

,

где h — постоянная Планка; р— импульс частицы.

Импульс электрона равен:

p = mv,

где m  масса; v  скорость электрона.

Условие образования дифракционного минимума в дифракции Фраунгофера имеет вид:

Dsinφ_m = mλ,

где D — ширина щели; φ_m — угол, под которым наблюдается минимум m-го порядка.

Отсюда получаем:

φ₂ = arcsin = arcsin = arcsin = 0,83˚.

Ответ: φ₂ =0,83˚.

5. Электрон движется в атоме, имеющем радиус R = 5∙10^11м. Оценить скорость электрона.

Решение:

В соответствии с принципом неопределенностей Гейзенберга невозможно одновременно точно измерить координату и импульс частицы. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты x и проекции p_x импульса частицы на ось X имеет вид:

Δx Δp_x ≥ h/2π,

где h — постоянная Планка.

Неопределенность координаты электрона равна радиусу атома R, а неопределенность проекции импульса на ось Х равна модулю импульса. Поэтому соотношение неопределенностей Гейзенберга можно переписать в виде:

R p ≥ h/2π.

Так как импульс электрона

p = mv,

то скорость v электрона массой m

v = p/m ≥ .

Отсюда

v ≈ = м/с.

Ответ: v = 2,32·10⁶м/c.

6. Среднее время жизни некоторых элементарных частиц составляет примерно 10^18 с. Оценить кинетическую энергию этих частиц.

Решение:

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии E и времени t жизни частицы:

ΔE Δt ≥ h/2π.

Полагая, что

Е ≈ ΔE, t ≈ Δt,

получаем оценку кинетической энергии частицы:

E ≈ = Дж.

Ответ: E ≈ 1,06·10^16 Дж.

7. Электрон находится в одномерном, бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной L = 10^10м. Найти минимальную разность уровней энергии электрона в этом ящике.

Решение:

Собственное значение энергии частицы, находящейся в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике шириной L:

E_n = ,

где ћ = h/2π, h — постоянная Планка; m — масса частицы; n = 1,2,3,… — номер энергетического уровня.

Разность между соседними энергетическими уровнями:

ΔE = Е_n+1 – E_n=

Отсюда следует, что минимальная разность уровней энергии наблюдается при n = 1:

ΔE_мин.=

Подставляя численные данные ћ= 1,05·10^34Дж·с; m = 9,1·10^31кг; L= 10^10м, получаем:

ΔE_мин = 1,8·10^17Дж.

Ответ: ΔE_мин = 1,8·10^17Дж.

8. Частица находится в основном состоянии в одномерном, бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной L. Найдите вероятность пребывания частицы в левой трети ящика.

Решение:

Вероятность обнаружения частицы, находящейся в стационарном состоянии на интервале a≤ x≤ b:

P(a,b)= .

Собственная волновая функция частицы, находящейся в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике шириной L:

ψ_n(x) = · , n= 1,2,3,…

В основном состоянии n = 1. Следовательно:

P(0,L/3)= =0,195.

Ответ: P(0,L/3)=0,195.

9. Какой изотоп образуется из в результате его распада?

Решение:

Ядерную реакцию β  распада можно записать в виде:

,

где — неизвестный изотоп.

По законам сохранения массового и зарядового чисел:

8 = M + 0,

3 = Z + (1),

Отсюда получаем:

массовое число изотопа M = 8,

зарядовое число Z = 4.

Изотоп с зарядовым числом Z = 4  бериллий

Ответ: этот изотоп

10. Активность радиоактивного элемента уменьшилась в 4 раза за 16 суток. Найти период полураспада этого элемента.

Решение:

Активность радиоактивного вещества равна числу ядер, распадающихся за единицу времени:

A = lN.

По закону радиоактивного распада число радиоактивных N ядер убывает с течением времени t по закону:

,

где N₀ — число ядер в момент времени t = 0; e @ 2,72 — основание натуральных логарифмов; l — постоянная радиоактивного распада.

Если активность элемента уменьшилась в 4 раза, то

N₀/N = 4.

Отсюда

λ= ln(N₀/N)/t.

Связь между периодом полураспада T и радиоактивной постоянной:

= =

Ответ: T = 8 суток.

Варианты типовых заданий

Номер варианта	Номера задач
1	1	26	51	76	101
2	2	27	52	77	102
3	3	28	53	78	103
4	4	29	54	79	104
5	5	30	55	80	105
6	6	31	56	81	106
7	7	32	57	82	107
8	8	33	58	83	108
9	9	34	59	84	109
10	10	35	60	85	110
11	11	36	61	86	111
12	12	37	62	87	112
13	13	38	63	88	113
14	14	39	64	89	114
15	15	40	65	90	115
16	16	41	66	91	116
17	17	42	67	92	117
18	18	43	68	93	118
19	19	44	69	94	119
20	20	45	70	95	120
21	21	46	71	96	121
22	22	47	72	97	122
23	23	48	73	98	123
24	24	49	74	99	124
25	25	50	75	100	125