Примеры решения задач
1. Вывести формулы для радиуса стационарной орбиты и скорости электрона в атоме водорода и вычислить эти величины для n = 1.
Решение
По теории Бора электрон движется в атоме водорода вокруг протона по круговой орбите под действием силы кулоновского притяжения. По второму закону Ньютона для электрона:
,
(1)
где ε0 — электрическая постоянная; m — масса электрона; e — заряд электрона; vn — линейная скорость; rn — радиус орбиты электрона в стационарном состоянии; n — номер стационарного состояния (n = 1,2,…).
Радиус n-й боровской орбиты rn и скорость vn электрона на ней связаны между собой уравнением
,
(2)
где h — постоянная Планка.
Решая совместно уравнения (1) и (2), получаем искомые формулы:
Положив в этих формулах n = 1 и подставив численные данные из справочной таблицы, получим:
r1 = 0,53·1010м, V1 = 2,2·106м/c.
Ответ:
,
,r1
= 0,53·10-10м;
1
= 2,2·106м/c.
2.Найти минимальную энергию фотона, излучаемого в серии Лаймана.
Решение:
Частота излучения атома водорода определяется по формуле Бальмера - Ритца:
,
где R — постоянная Ридберга; n, m — номера стационарных орбит электрона. Спектральная серия Лаймана образуется при n = 1. Минимальная частота излучаемого фотона в этом случае соответствует m = 2. Тогда минимальная энергия излучаемого фотона по формуле Планка:
Емин.= hν1,2,
где h — постоянная Планка.
Численный расчет:
Емин.=
hν1,2=
=6,63·10-34·3,28985∙1015
=
1,64·1018
Дж.
Ответ: Емин.= 1,64·1018 Дж.
3.. Найти длину волны де Бройля для электрона, прошедшего из состояния покоя разность потенциалов 1 В.
Решение:
Электрон, прошедший из состояния покоя разность потенциалов U, в соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии приобретает кинетическую энергию:
Екин.=
,
где m — масса; e — заряд; v — скорость электрона. Отсюда получаем скорость:
и импульс электрона:
p
= mv
=
.
Длина волны де Бройля:
=
,
где h — постоянная Планка.
Вычисления:
=
=
=
1,23·10-9В.
Ответ: λ = 1,23·109 В.
4. Параллельный пучок электронов, летящих со скоростью 106 м/с, падает на щель шириной 1 мкм. В результате на удаленном экране наблюдается дифракция Фраунгофера. Под каким углом будет виден дифракционный минимум второго порядка?
Решение:
Дифракция электронов является следствием волновой природы частиц. Длина волны де Бройля равна:
,
где h — постоянная Планка; р— импульс частицы.
Импульс электрона равен:
p = mv,
где m масса; v скорость электрона.
Условие образования дифракционного минимума в дифракции Фраунгофера имеет вид:
Dsinφm = mλ,
где D — ширина щели; φm — угол, под которым наблюдается минимум m-го порядка.
Отсюда получаем:
φ2
= arcsin
=
arcsin
=
arcsin
=
0,83˚.
Ответ: φ2 =0,83˚.
5. Электрон движется в атоме, имеющем радиус R = 5∙1011м. Оценить скорость электрона.
Решение:
В соответствии с принципом неопределенностей Гейзенберга невозможно одновременно точно измерить координату и импульс частицы. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты x и проекции px импульса частицы на ось X имеет вид:
Δx Δpx ≥ h/2π,
где h — постоянная Планка.
Неопределенность координаты электрона равна радиусу атома R, а неопределенность проекции импульса на ось Х равна модулю импульса. Поэтому соотношение неопределенностей Гейзенберга можно переписать в виде:
R p ≥ h/2π.
Так как импульс электрона
p = mv,
то скорость v электрона массой m
v
= p/m
≥
.
Отсюда
v
≈
=
м/с.
Ответ: v = 2,32·106м/c.
6. Среднее время жизни некоторых элементарных частиц составляет примерно 1018 с. Оценить кинетическую энергию этих частиц.
Решение:
Соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии E и времени t жизни частицы:
ΔE Δt ≥ h/2π.
Полагая, что
Е ≈ ΔE, t ≈ Δt,
получаем оценку кинетической энергии частицы:
E
≈
=
Дж.
Ответ: E ≈ 1,06·1016 Дж.
7. Электрон находится в одномерном, бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной L = 1010м. Найти минимальную разность уровней энергии электрона в этом ящике.
Решение:
Собственное значение энергии частицы, находящейся в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике шириной L:
En
=
,
где ћ = h/2π, h — постоянная Планка; m — масса частицы; n = 1,2,3,… — номер энергетического уровня.
Разность между соседними энергетическими уровнями:
ΔE
= Еn+1
– En=
Отсюда следует, что минимальная разность уровней энергии наблюдается при n = 1:
ΔEмин.=
Подставляя численные данные ћ= 1,05·1034Дж·с; m = 9,1·1031кг; L= 1010м, получаем:
ΔEмин = 1,8·1017Дж.
Ответ: ΔEмин = 1,8·1017Дж.
8. Частица находится в основном состоянии в одномерном, бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной L. Найдите вероятность пребывания частицы в левой трети ящика.
Решение:
Вероятность обнаружения частицы, находящейся в стационарном состоянии на интервале a≤ x≤ b:
P(a,b)=
.
Собственная волновая функция частицы, находящейся в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике шириной L:
ψn(x)
=
·
,
n=
1,2,3,…
В основном состоянии n = 1. Следовательно:
P(0,L/3)=
=0,195.
Ответ: P(0,L/3)=0,195.
9.
Какой изотоп образуется из
в результате
его распада?
Решение:
Ядерную реакцию β распада можно записать в виде:
,
где
—
неизвестный
изотоп.
По законам сохранения массового и зарядового чисел:
8 = M + 0,
3 = Z + (1),
Отсюда получаем:
массовое число изотопа M = 8,
зарядовое число Z = 4.
Изотоп с зарядовым
числом Z
= 4
бериллий
Ответ: этот изотоп
10. Активность радиоактивного элемента уменьшилась в 4 раза за 16 суток. Найти период полураспада этого элемента.
Решение:
Активность радиоактивного вещества равна числу ядер, распадающихся за единицу времени:
A = lN.
По закону радиоактивного распада число радиоактивных N ядер убывает с течением времени t по закону:
,
где N0 — число ядер в момент времени t = 0; e @ 2,72 — основание натуральных логарифмов; l — постоянная радиоактивного распада.
Если активность элемента уменьшилась в 4 раза, то
N0/N = 4.
Отсюда
λ= ln(N0/N)/t.
Связь между периодом полураспада T и радиоактивной постоянной:
=
=
Ответ: T = 8 суток.