2.2. Пример решения задачи методом Флойда
С помощью метода Флойда определим кратчайшие пути между вершинами нагруженного орграфа:
Решение.
1. Подготовительный шаг:
,
.
2.
Первый шаг (
).
.
Определяем
элементы матрицы
.
При этом элементы первой строки и первого
столбца матрицы
,
а также диагональные элементы остаются
без изменений:
,
,
.
Вычисляем
остальные элементы матрицы
:
,
,
,
,
,
.
Итак,
.
Определяем
элементы матрицы
.
Т.к.
,
то
.
Т.к.
,
то
.
Аналогично получаем
,
,
,
.
Итак,
.
3.
Второй шаг (
).
Определяем
элементы матрицы
.
При этом элементы второй строки и второго
столбца матрицы
,
а также диагональные элементы остаются
без изменений:
,
,
,
,
,
,
.
Вычисляем
остальные элементы матрицы
:
,
,
,
,
,
.
Итак,
,
.
Определяем
элементы матрицы
:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Введение
в рассмотрение дополнительной вершины
не меняет минимальные пути между
вершинами.
4.
Третий шаг (
).
.
Построив
матрицы
и
,
можно убедиться, что
и
.
Т.е. введение в рассмотрение дополнительной
вершины
не меняет минимальные пути между
вершинами.
5.
Четвертый шаг (
).
.
Вводится
в рассмотрение вершина
и находятся минимальные пути, проходящие
через эту вершину.
Определяем
элементы матрицы
:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Итак,
.
Определяем
элементы матрицы
:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Итак,
.
По
матрице
определяем искомые минимальные пути
(см. таблицу
2.1).
Таблица 2.1. Минимальные пути
|
Начальная вершина |
Конечная вершина |
Путь |
Длина пути |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Задание на курсовую работу
Основной целью данной курсовой работы является привитие и отработка студентами навыков использования на практике методов теории графов, изученных в рамках дисциплины «Дискретная математика», выполнения инженерных расчётов, оформления технической документации.
Курсовая работа предполагает решение 2 задач:
задача 1 — поиск кратчайшего маршрута между двумя заданными вершинами взвешенного графа;
задача 2 — поиск кратчайших путей между всеми парами вершин взвешенного графа.
Следует отдельно рассмотреть следующие вопросы:
— уточнение исходных данных по номеру варианта задания;
— методические рекомендации по выполнению задач 1 и 2 (приведены в разделах выше).
Исходными
данными являются графы, представленные
в табл. 3.1. В табл. 3.2 приводится соответствие
вариантам графов. Например, для варианта
№7 необходимо взять из табл. 4.1 графы 7
для решения задачи 1, 25 для решения задачи
2. Для всех вариантов задача 1 состоит в
отыскании кратчайшего маршрута между
вершинами
и
.
Содержание пояснительной записки:
Титульный лист;
Содержание;
Введение;
1. Основы теории графов;
2. Поиск кратчайшего маршрута между двумя заданными вершинами взвешенного графа методом Дейкстры;
2.1. Теоретическое описание метода Дейкстры;
2.2. Решение задачи методом Дейкстры;
3. Поиск кратчайших путей между всеми вершинами графа методом Флойда;
3.1. Теоретическое описание метода Флойда;
3.2. Решение задачи методом Флойда;
Заключение;
Список литературы.
Основная рекомендуемая литература и материалы приведены в разделе «Литература».
В приложении 1 приведен пример заполнения титульного листа.
Таблица 3.1. Исходные данные
|
|
|
|
Граф №1 |
Граф №2 |
|
|
|
|
Граф №3 |
Граф №4 |
|
|
|
|
Граф №5 |
Граф №6 |
|
|
|
|
Граф №7 |
Граф №8 |
|
|
|
|
Граф №9 |
Граф №10 |
|
|
|
|
Граф №11 |
Граф №12 |
|
|
|
|
Граф №13 |
Граф №14 |
|
|
|
|
Граф №15 |
Граф №16 |
|
|
|
|
Граф №17 |
Граф №18 |
|
|
|
|
Граф №19 |
Граф №20 |
|
|
|
|
Граф №21 |
Граф №22 |
|
|
|
|
Граф №23 |
Граф №24 |
|
|
|
|
Граф №25 |
Граф №26 |
|
|
|
|
Граф №27 |
Граф №28 |
|
|
|
|
Граф №29 |
Граф №30 |
|
|
|
|
Граф №31 |
Граф №32 |
|
|
|
|
Граф №33 |
Граф №34 |
|
|
|
|
Граф №35 |
Граф №36 |
Таблица 3.2
-
№ варианта
Задача 1
Задача 2
№ варианта
Задача 1
Задача 2
1
1
19
10
10
28
2
2
20
11
11
29
3
3
21
12
12
30
4
4
22
13
13
31
5
5
23
14
14
32
6
6
24
15
15
33
7
7
25
16
16
34
8
8
26
17
17
35
9
9
27
18
18
36