Тема №3. Степени и корни.

3.1. Степень с целым показателем.

1º. Степенью числа а()с целым показателемnназывается число, определяемое следующим образом:

1) если n= 0, а≠ 0:;

2) если :;

3) если а≠ 0:.

При этом число аназываетсяоснованием степени, а числоn–показателем степени. 2º. Степень с целым показателем удовлетворяет следующим свойствам:

3.2. Арифметический корень. Степень с рациональным показателем.

1º. Арифметическим корнем k-ой степени () из числа а≥ 0 называется неотрицательное числоb,k-ая степень которого равна а:

2º. Замечание. Для любого действительного числа а, любого натурального числаnдействуют правила:

в частности.

3º. Свойства арифметических корней. Пусть. Тогда:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) .

4º. Степенью числа a с рациональным показателем определяется равенством:

Степень с рациональным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с целым показателем.

Пример 7. Упростить выражение: .

Решение. Используя определение степени и ее свойства, получим:

3.3. Формулы сокращенного умножения.

1º. Во всякого рода алгебраических преобразованиях используются формулы сокращенного умножения:

;;

;;

;

;.

Так, если а ≥ 0, b≥ 0, то.

Или .

Пример 8. Вычислить .

Решение:

Ответ: 4.

Дидактический материал.

Вычислите:

1. ; 2.; 3.;

4. ; 5.; 6.;

7. ; 8.;

9. ; 10.;

11. ; 12.;

13. ; 14.; 15..

Внесите множители под знак общего корня:

16. ; 17.; 18..

Упростите выражения:

19. ; 20.; 21.;

22. ; 23.;

24. ; 25.;

26. ;

27. .

Ответы: 19.; 20.x+ 4; 21. 0,5; 22. -1; 23.; 24. 1; 25. 3; 26.x – y;

27. .

Тема №4.

Неравенства с одной переменной (часть I).

4.1. Решение линейных и квадратных неравенств.

1º. Решить неравенство с одной переменной– значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным. Элементы этого множества называютсярешениями неравенства.

Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают. Равносильность неравенств обозначается так:.

2º. Линейным неравенствомназывается неравенство вида, где.

Если a > 0, то.

Если a < 0, то.

Пример 9. Решить неравенство, сводящееся к линейному:

.

Решение: Раскрыв скобки, получим:

.

Ответ:

3º. Квадратным неравенствомназывается неравенство вида(или), гдеа ≠ 0.

При решении квадратного неравенства в зависимости от знака дискриминантамогут представиться 3 варианта:

1) Если D < 0, то график квадратного трехчленане пересекает осьОхи лежит выше этой оси приa > 0и ниже ее приa < 0. В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором – пустое множество.

2) Если D > 0, то график квадратного трехчлена пересекает осьОхв точкахх₁их₂ (x₁ < x₂), являющихся корнями уравнения. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка(-∞; x₁), (x₁; x₂), (x₂; +∞).Еслиa > 0, то решением неравенства является множество. Еслиa < 0, то решением неравенства является множество(x₁; x₂).

3) Если D = 0, то график квадратного трехчлена касается осиОхв точкех₁, являющейся единственным корнем уравнения. Приa < 0решением неравенства будет пустое множество, приa > 0– множество.

Пример 10. Решить неравенство .

Решение: Рассмотрим функцию . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так какa = -3 < 0.

Решим уравнение или. Корни этого уравнения. Изобразив схематически параболу, найдем, чтоy < 0в каждом из промежутков (-∞; 1/3), (3; +∞).

Ответ: .