Дидактический материал.

Найдите значение выражения:

1. , если;

2. , если;

3. , если;

4. , если;

5. , если, а α и β – углыIчетверти;

6. , если; а α и β – углыIчетверти;

7. , если;

8. , если.

Вычислите:

9. , если;

10. , если;

11. , если.

Упростите выражение:

12. ; 13.;

14. ; 15.;

16. ;

17. ; 18.;

19. .

Преобразуйте в произведение:

19. ;

20. .

Найдите значение выражения:

19. ; 23.;

24. ; 25.; 26..

Ответы: 1. 0; 2. 5,92; 3. 10; 4. 3; 5. 5,2; 6. 6; 7. 3; 8. 3; 9. 1,24; 10. -10; 11. 7/25; 12. 1; 13. 2; 14. 0; 15. 0; 16. 2; 17. -1; 18. 2; 19. -1; 20.; 21.; 22.; 23.; 24. 21; 25. 24; 26. 26.

Тема №11. Тригонометрические уравнения.

11.1. Решение простейших тригонометрических уравнений.

1º. Уравнение, содержащее неизвестную величину только под знаком тригонометрических функций, называется тригонометрическим. Тригонометрические уравнения либо не имеют корней, либо имеют их бесчисленное множество.

2º. Формула для корней уравнения , где, имеет вид:

.

Уравнение прирешений не имеет.

Частные случаи:

а) ;

б) ;

в) .

3º. Формула для корней уравнения , где, имеет вид:

.

Уравнение прирешений не имеет.

Частные случаи:

а) ;

б) ;

в) .

4º. Формула для корней уравнения при любомимеет вид:

.

Частные случаи:

а) ;

б) ;

в) .

5º. Формула для корней уравнения при любомимеет вид:

.

Частные случаи:

а) ;

б) ;

в) .

11.2. Основные методы решения тригонометрических уравнений.

1º. Уравнение вида (a0, b0, c0)равносильно уравнению, где,.

Пример 40. Решить уравнение.

Решение:

.

Ответ: .

2º. Одним из основных методов решения тригонометрических уравнений, так же как и других видов уравнений, является метод подстановки(замены переменной).

Пример 41. Решить уравнение .

Решение: Так как , то уравнение можно переписать следующим образом:, т.е.. Полагая, приходим к квадратному уравнению, откуда, и получаем совокупность двух простейших уравнений. Первое из них имеет решение, а второе решений не имеет.

Ответ: .

Метод замены переменной полезен при решении так называемых однородных уравнений, т.е. уравнений вида

(однородное уравнениеIпорядка),

(однородное уравнениеIIпорядка).

Если a0, то при делении обеих частей первого уравнения на, а второго уравнения наполучаем алгебраические уравнения, решаемые подстановкой. Еслиa=0, то во втором уравнениивыносится за скобки.

Пример 42. Решить уравнение .

Решение: Разделив уравнение на , получим. Пусть, тогдаили:

1) ;

2) .

Ответ: .

Замечание 1.Уравнение вида(d0)можно привести к однородному уравнениюIIпорядка, положив.

Замечание 2. Уравнение вида(c0)можно привести к однородному уравнениюII порядка относительнои.

3º. При решении тригонометрических уравнений также часто используют метод разложения на множители.

Пример 43. Решить уравнение .

Решение: Все члены уравнения переносятся в левую часть, после чего левую часть уравнения раскладывают на множители:

.

Значит, либо , откуда, либо, откуда.

Ответ: .

Заметим, что для разложения на множители могут применяться различные формулы: формулы разложения тригонометрических функций в произведение, формулы понижения степени, формулы преобразования произведения в сумму и др.

Пример 44. Решить уравнение .

Решение: Согласно формуле (10.19) заменим произведение тригонометрических функций суммой, а затем воспользуемся формулой (10.15):

.

Ответ: .

Пример 45. Решить уравнение .

Решение: Это уравнение можно привести к квадратному относительно , понизив степеньи, но существует более короткий способ.

Дополним левую часть уравнения до полного квадрата суммы, для чего прибавим к обеим частям уравнения. Получим уравнение равносильное данному:

;

.

Применяя формулы (10.1) и (10.10), получаем: .

Пусть . Тогда;(не удовлетворяет условию),. Так как, то,

.

Ответ: .