Тема №8. Показательные неравенства.
1º. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством.
2º. Решение показательных неравенств
вида
основано на следующих утверждениях:
если
,
то неравенство
равносильно
;
если
,
то неравенство
равносильно
.
При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений.
Пример 26. Решить неравенство
(методом перехода к одному основанию).
Решение: Так как
,
то заданное неравенство можно записать
в виде:
.
Так как
,
то данное неравенство равносильно
неравенству
.
.
Решив последнее неравенство, получим
.
Ответ:
.
Пример 27. Решить неравенство:
(методом
вынесения общего множителя за скобки).
Решение: Вынесем за скобки в левой части
неравенства
,
в правой части неравенства
и разделим обе части неравенства на
(-2), поменяв знак неравенства на
противоположный:
.
Так как
,
то при переходе к неравенству показателей
знак неравенства опять меняется на
противоположный. Получаем
.
Таким образом, множество всех решений
данного неравенства есть интервал
.
Ответ:
.
Пример 28. Решить неравенство
(методом введения новой переменной).
Решение: Пусть
.
Тогда данное неравенство примет вид:
или
,
решением которого является интервал
.
Отсюда
.
Поскольку функция
возрастает, то
.
Ответ:
.
Дидактический материал.
Укажите множество решений неравенства:
1.
; 2.
; 3.
;
4.
; 5.
.
6. При каких значениях xточки графика функции
лежат ниже прямой
?
7. При каких значениях xточки графика функции
лежат не ниже прямой
?
Решите неравенство:
8.
; 9.
; 10.
;
11.
; 12.
.
13. Укажите наибольшее целое решение
неравенства
.
14. Найдите произведение наибольшего
целого и наименьшего целого решений
неравенства
.
Решите неравенство:
15.
; 16.
; 17.
;
18.
; 19.
; 20.
;
21.
; 22.
; 23.
;
24.
; 25.
; 26.
.
Найдите область определения функции:
27.
; 28.
.
29. Найдите множество значений аргумента, при которых значения каждой из функций больше 3:
и
.
Ответы:11. 3; 12. 3; 13. -3; 14. 1; 15. (0; 0,5); 16.
[1,5; 5]; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2];
19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5;
+∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U(4; +∞); 27. (-∞; 3)U{5}; 28. [2; +∞);
29. (-∞;log5(5
-5)).
Тема №9. Логарифмы.
1º. Логарифмомчислаbпо основаниюa(где
)
называется показатель степени, в которую
надо возвестиa, чтобы
получить числоb.
Логарифм числа bпо основаниюa обозначается символомlogab. В записиlogabчислоaназывают основанием логарифма, числоb– логарифмируемым числом.
Равенство
означает, что
.
2º. Основным логарифмическим тождествомназывается равенство
,
которое справедливо при
.
Например,
.
3º. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмоми обозначаетсяlgвместоlog10. Логарифм по основаниюe(e=2,712828…) называетсянатуральным логарифмоми обозначаетсяlnвместоloge.
4º. Основные свойства логарифмов:
1)
;
2)
;
3)
(логарифм произведения), где
;
4)
(логарифм частного), где
;
5)
(логарифм степени), где
;
Замечание. Если b<0, аp– четное целое число, то справедлива формула:
6)
(формула перехода к другому основанию
логарифма).
В частности,
.
Пример 29. Найти
.
Решение: Воспользуемся основным логарифмическим тождеством и свойством «логарифм степени».
.
Пример 30. Вычислить
.
Решение: Для решения данного примера необходимо использовать все свойства логарифмов:
.
Пример 31. Вычислить
.
Решение: Для решения данного примера используются все свойства логарифмов, а также основное логарифмическое тождество:
.
Ответ: 19.
Пример 32. Найти
,
если
и
.
Решение: Разложим числа 168, 54, 24 и 12 на множители:
.
Полагая
и
,
выразим черезxиyвсе логарифмы, содержащиеся в условии:
;
;
.
Согласно условию для определения xиyполучаем систему уравнений:
,
решая которую находим
,
.
Подставим найденные значения xиyв равенство для
определения
,
получим ответ:
.
5º. Логарифмирование– это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных.
Потенцирование– это преобразование, обратное логарифмированию.
Пример 33. Дано
,
где
.
Найти выражение для x.
Решение: Потенцируя, получим:
,
.