2.2. Статистичне означення ймовірності.

Відносною частотою події А називають відношення числа m випробувань, в яких подія А мала місце до загального числа фактично проведених випробувань n. Тобто: W(А) = m / n.

Означення відносної частоти припускає, що випробування були проведені фактично, тобто ймовірність обчислюється до експерименту, а відносна ймовірність – після експерименту.

Приклад № 4: відділ технічного контролю продукції виявив 5 нестандартних деталей в партії з 60 випадково відібраних деталей. Тоді відносна частота появи нестандартної деталі: .

Якщо проводити експеримент в однакових умовах, у кожному з яких число випробувань достатньо велике, то відносна частота стає стійкою, коливаючись навколо деякого сталого числа, яке можна вважати за наближене значення ймовірності, яке називається статистичною ймовірністю.

3. Властивості ймовірності:

Ймовірність будь-якої події А задовольняє нерівність: 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Ймовірність достовірної події дорівнює 1. Аналогічно неможливої – 0.

Для незалежних подій А і В виконуються рівності: .

На практиці висновок про незалежність тих чи інших подій роблять виходячи з інтуїтивних міркувань і аналізу умов випробування, вважаючи незалежними ті події, між якими немає причинних зв’язків.

Сума і добуток двох подій, їх властивості

Сумою двох подій А і В називається така подія С = А+В, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається принаймні одна з подій А або В.

Приклад № 5: у корзині 6 білих, 4 червоних, 7 зелених і 2 голубих кульки. Після того, як їх ретельно перемішали, взяли навмання одну з них. Яка ймовірність того, що кулька кольорова?

Події: А – взяли білу кульку, В – взяли червону, С – взяли зелену, D – взяли голубу. За умовою нас цікавить поява червоної, або зеленої, або голубої кульок (будь-якого кольору, тільки не білу): .

Добутком двох подій А і В називається така подія С = А·В, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли події А і В відбуваються разом (одночасно).

Сума ймовірностей подій, які утворюють повну групу подій дорівнює 1.

Розглянемо властивості ймовірностей сумісних, залежних та інших видів подій:

1) Ймовiрність суми двох сумісних, незалежних подій дорівнює сумі ймовiрностей цих подій без ймовiрності їх добутку: .

2) Ймовірність суми двох сумісних, залежних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без умовної ймовірності першої, обчисленої в припущенні, що відбулась друга: .

3) Ймовiрність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовiрностей цих подій: .

4) Ймовiрність добутку двох залежних подій дорівнює добутку ймовiрності однієї з них на ймовiрність іншої при умові, що відбулась перша подія: .

5) Ймовiрність добутку незалежних подій дорівнює добутку ймовiрностей цих подій: .

Приклад № 6: у тролейбусному парку п’ять машин №1 і три машини №2. Яка ймовiрність, що перші дві машини, які вийшли з парку, мають № 1?

Розв'язання. Позначимо події: А – перша машина має №1; В – друга машина має №1; С – перші дві машини мають №1. Тоді Р(А) = 5/8. Якщо відомо, що подія А відбулася, то в парку залишилось чотири машини №1 і три машини №2, тобто події А і В – залежні, оскільки ймовірність появи події В залежить від появи події А. Тому:

Р(В/А) = 4/7. Отже, Р(С) = Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = 5/8·4/7 = 20/56 = 0,357 = 35,7%.

Відповідь: 35,7%.

Приклад № 7: Ймовiрність влучення з однієї гармати 0,85, а з другої – 0,7. Знайти ймовiрність принаймні одного влучення при залпі з двох гармат.

Розв'язання. Позначимо події: А – влучила перша гармата; В – влучила друга гармата; С – принаймні одне влучення. Зрозуміло, що А і В – сумісні, незалежні події.

Перший спосіб: .

Другий спосіб. Події – протилежні, тобто– ймовірність невлучення в ціль першою гарматою. Аналогічно. Тоді протилежною подією до „принаймні одного влучення при залпі з двох гармат” буде подія ніодного влучення при залпі з двох гармат:

Третій спосіб. Розглянемо можливі випадки подій при умові „принаймні одного влучення”: можливі випадки, що влучили з обох гармат одночасно, або з першої гармати влучили, а з дугої – ні, або з першої не влучили, а з другої гармати влучили, тобто маємо:

Відповідь: 95,5%.

2. Формула повної ймовірності, ймовірність гіпотез.

3.1. Формули повної ймовiрності.

Нехай подія В може відбутися лише разом з однією із подій (гіпотез): Н₁, Н₂, Н₃, ..., Н_n , які є несумісні і утворюють повну групу подій, тобто .

Тоді: Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁) +...+ Р(Н_n)Р(А/Н_n)

Ця формула називається формулою повної ймовiрності, де події Н₁,..., Н_n – гіпотези.

Приклад № 8: Штампувальний цех направив у відділ технічного контролю дві партії деталей. Перша партія містить 30000 деталей, 5% з яких браковані. Друга партія містить 20000 деталей з 1% браку. Деталі обох партій надходять на спільний конвейєр для перевірки контролером. Контролер навмання взяв одну деталь. Яка ймовірність що деталь бракована?

Розв'язання. Позначимо події: А – деталь бракована; гіпотези: Н₁ – деталь із першої партії; Н₂ – деталь із другої партії. Тоді, за умовою задачі:

Ймовірність випадкового вибору деталі з першої партії: ; аналогічно з другої.

Умовні ймовірності (– ймовірність випадково вибраної бракованої деталі, з першої партії, аналогічноз другої). Тобто:і.

За формулою повної ймовiрності необхідно обчислити ймовірність того, що навмання взята деталь бракована (незалежно від того, з якої вона партії):

Відповідь: ймовірність вибору з конвейєра бракованої деталі контролером складає 3,4%.

3.2. Формула Байєса.

В умовах формули повної ймовiрності, можна переоцінити ймовiрності гіпотез за формулами Байєса:

Приклад № 8: Два верстата-автомата виробляють однакові деталі, які надходять на спільний конвейєр. Продуктивність першого верстата в 4 рази вища за продуктивність другого. Перший верстат в середньому виробляє 30% деталей відмінної якості, а другий – 80%. Навмання взята деталь виявилася відмінної якості. Знайти ймовiрність, що цю деталь виготовлено на другому верстаті.

Розв'язання. Позначимо події: А – деталь відмінної якості; Н₁ – деталь виготовлено на першому верстаті; Н₂ – деталь виготовлено на другому верстаті. Тоді, за умовою задачі:

Р(Н₁) = 4/5 = 0,8; Р(А/Н₁) = 30/100 = 0,3;

Р(Н₂) = 1/5 = 0,2; Р(А/Н₂) = 80/100 = 0,8;

За формулою повної ймовiрності

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁) + Р(Н₂)Р(А/Н₂) = 0,8·0,3 + 0,2·0,8 = 0,4.

За формулою Байєса: Р(Н₂/A) = Р(Н₂)Р(А/Н₂) / P(A) = 0,2·0,8/0,4 = 0,4.

Одержаний результат можна розуміти таким чином: серед деталей відмінної якості 40% складають деталі, які виготовлені на другому верстаті.

Відповідь: 40%.

Приклад № 10: У телевізійному ательє є 4 кінескопи. Ймовірності того, що кінескопи витримують гарантійний термін служби, відповідно дорівнюють 0,8; 0,85; 0,9 і 0,95. Знайти ймовірність того, що взятий навмання кінескоп витримає гарантійний термін служби.

Розв'язання. Позначимо події: А – кінескоп витримав гарантійний термін служби; Н₁ – перший кінескоп витримав гарантійний термін служби; Н₂ – другий кінескоп витримав гарантійний термін служби; Н₃ – третій і Н₄ – четвертий. Тоді, за умовою задачі

Р(Н₁) = 1/4 = 0,25; Р(А/Н₁) = 0,8;

Р(Н₂) = 1/4 = 0,25; Р(А/Н₂) = 0,85;

Р(Н₃) = 1/4 = 0,25; Р(А/Н₁) = 0,9;

Р(Н₄) = 1/4 = 0,25; Р(А/Н₂) = 0,95.

За формулою повної ймовiрності:

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁) + Р(Н₂)Р(А/Н₂) + Р(Н₃)Р(А/Н₃) + Р(Н₄)Р(А/Н₄) = 0,25·0,8 + 0,25·0,85 + 0,25 0,9 + 0,25 0,95 = 0,875 = 87,5 %.

Відповідь: ймовірність того, що взятий навмання кінескоп витримає гарантійний термін служби 87,5%.