Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
teoriya_ymov.docx
Скачиваний:
78
Добавлен:
19.05.2015
Размер:
373.25 Кб
Скачать

Лекція 7: Основні поняття теорії ймовірностей.

План.

  1. Предмет теорії ймовірностей. Випробування, події, класифікація подій.

  2. Означення ймовірності, її основні властивості, ймовірність складних подій.

  3. Формула повної ймовірності, ймовірність гіпотез.

  4. Повторні незалежні випробування. Схема Бернуллі.

1. Предмет теорії ймовірностей. Випробування, події, класифікація подій.

1.1. Предмет теорії ймовірностей – вивчення ймовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

Математична наука, яка вивчає загальні закономірності випадкових явищ, незалежно від їх конкретної природи і дає методи кількісної оцінки впливу випадкових факторів на різні явища, називається теорією ймовірностей.

1.2. Випробування, події, класифікація подій.

Випробуванням назвемо комплекс умов, який можна відтворювати будь-яку кількість разів. Подією називається результат випробування – це якісний або кількісний результат експерименту, який виконується за певних умов. Позначаються події великими літерами латинського алфавіту: А, В, С і т.д. Або А1, А2, А3, ..., Аn.

Класифікація подій:

Подія А називається достовірною, якщо вона обов’язково відбудеться при заданих умовах і неможливою, якщо вона при цих умовах відбутися не може.

Подія А, яка може відбутися або не відбутися в одному випробуванні, називається випадковою.

Події А1, А2, А3, ..., Аn називаються рівноможливими, якщо при виконанні комплексу умов, кожна з них має однакову можливість відбутися.

Події А1, А2, А3, ..., Аn називаються сумісними, якщо поява однієї із них не виключає можливості появи інших, або відбуваються одночасно.

Приклад № 1: 1) А – поява трьох очок при підкиданні грального кубика; В – поява непарної кількості очок при підкиданні грального кубика; 2) постріл по мішені із 3-х гармат – влучення кожної з них не виключає можливість влучення іншої. Вони можуть влучити всі три одночасно при одному пострілі.

Події А і В називаються несумісними, якщо вони не можуть відбутися разом (одночасно) в одному випробуванні. (П-д: підкидання монети – якщо випав герб, то решка вже в одному випробуванні з’явитися не може).

Якщо в одному випробуванні обов’язково відбудеться одна із несумісних подій A1,..., An, то ці події утворюють повну групу подій. Дві події, які утворюють повну групу, називаються протилежними. Подію, протилежну до події А, позначають A (чит. „не А”).

  1. Означення ймовірності, її основні властивості, ймовірність складних подій.

2.1. Класичне і статистичне означення ймовірності

Ймовiрністю випадкової події А називається число P(A), яке дорівнює відношенню кількості елементарних наслідків m, які сприяють появі події А, до кількості всіх рівноможливих наслідків n: .

Приклад № 2: знайдемо ймовірність того, що при одному підкиданні грального кубика випадає парне число очок на грані кубика.

Розв’язання: подія А полягає у тому, що при підкиданні грального кубика випало парне число очок на грані. Можливі такі наслідки: А1, А2, А3, А4, А5, А6 , де Аі – випало і очок (тобто певна кількість: або 1, або 4, або 6 і т.д.) на грані кубика.

А2, А4, А6 – елементарні наслідки, що сприяють появі події А. Тоді .

Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність появи події А не залежить від того відбулася чи ні подія В. (П-д: два стрілка стріляють у ціль. Ймовірність влучення у ціль одного стрілка не залежить від того, влучив у ціль інший, чи ні).

Подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність появи події А залежить від того відбулася чи ні подія В.

Приклад №3: у корзині 7 білих і 3 чорні кульки. Усно обчислимо ймовірність взяти з першого разу білу кульку. Визначити (при умові, що кульки в корзину не повертають): 1) ймовірність взяти з другого разу білу кульку, якщо перша була теж біла? 2) ймовірність другою взяти чорну, вважаючи, що перша була біла?

Таким чином, ймовірність взяти навмання непершу кульку будь-якого із кольрів є прикладом залежних подій.

Ймовiрність події А, яка обчислена в припущенні, що відбулася деяка подія В, називається умовною ймовiрністю Р(А/В).

Прикладом обчислення умовної ймовірності будуть розрахунки до прикладу №3:

Введемо події: 1) А – подія, яка полягає в тому, що першою взяли білу кульку, В – другою взяли білу кульку, тоді ; 2) А – подія, яка полягає в тому, що першою взяли білу кульку,В – другою взяли чорну кульку, тоді .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]