Лаб_работы / Лабораторная_работа_7 / Лабораторная работа 7

Лабораторная работа 7

Диапазоны

Вычисление числовых характеристик выборки

Массивы

Матричные операции

Решение системы линейных уравнений

Цель работы:

Получить устойчивые навыки использования диапазонов, массивов, матричных операций и методов решения системы линейных уравнений.

К р а т к а я с п р а в к а.

Диапазон (смежный) − группа ячеек объединенных оператором ( : ).

Пример.

A3:A6, E11:G20.

Диапазон (не смежный) − группа ячеек и(или) смежных диапазонов объединенных оператором ( ; ).

Пример.

A8; M12:N20; D16:E18.

Диапазону может быть присвоено имя.

Массив − смежный диапазон, который обрабатывается табличным процессором MS Excel как единое (неделимое) целое формулами массива. В формулах массив записывается также как диапазон, заключенный в {…} скобки. Ввод формулы массива осуществляется одновременным нажатием комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter. Массиву может быть (рекомендуется) присвоено имя. Перед вводом формулы необходимо предварительно выделить на листе количество и расположение ячеек, достаточные для размещения массива.

Простейшие операции над массивами

• Умножение массива на число:

{=A1:B3*10}

• Сумма (разность) массивов с одинаковым числом столбцов и строк:

{=A1:C3+E1:G3}

• Поэлементное произведение (деление) массивов с одинаковым числом столбцов и строк:

{=A1:D4*G1:J4}

• Вычисление функции от каждого элемента массива:

{=COS(A1:D5)}.

Матрица − массив, прямоугольная таблица чисел (элементов). Матрица, имеющая одну строку или один столбец, называется вектор.

Операции над матрицами

• Простейшие (поэлементные) операции над матрицами выполняются также как над массивами.

• Умножение матриц. Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получается матрица АВ, у которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В. Для умножение матриц в MS Excel имеется функция АВ = {=МУМНОЖ(A;B)}.

Пример.

• Вычисление определителя матрицы (detA). Результатом является число, которое занимает одну ячейку.

Аопр = {=МОПРЕД(А)}.

Поскольку результатом вычисления определителя является одно число, то комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter нажимать не обязательно.

• Вычисление обратной матрицы (А^-1). Обратная матрица такого же размера, что и исходная.

Аобр = {=МОБР(А)}.

Свойство обратной матрицы

Произведение обратной матрицы и исходной равно единичной матрицы.

Пример.

• Транспонирование матрицы. Транспонированной (А^Т) к матрицы А является матрица у которой число строк равно числу столбцов матрицы А.

Атр = {=ТРАНСП(А)}.

Пример.

Задание 1.

Рассчитать числовые характеристики (описательная статистика) выборки. При расчете использовать встроенные статистические функции электронной таблицы MS Excel.

Методика выполнения задания.

О ткройте в MS Excel новую книгу и на Лист 1 из файла Задание 1.xls , находящегося в папке Лабораторная работа 6, скопируйте выборку (диапазон) своего варианта. Оформите лист, как показано на рисунке.

П рисвойте выборки (диапазону) имя − Выборка. Для чего выполните последовательность команд Вставка | Имя | Присвоить …

Используя в формулах встроенные в MS Excel статистические функции, рассчитайте числовые характеристики выборки:

Количество элементов в выборке (n):

=СЧЕТ(Выборка).

Максимальное значение в выборке (max):

=МАКС(Выборка).

Минимальное значение в выборке (min):

=МИН(Выборка).

Среднее арифметическое значение выборки (М):

=СРЗНАЧ(Выборка) или =СУММ(Выборка)/СЧЕТ(Выборка).

Дисперсия − характеристика вариации выборки (s²):

=ДИСП(Выборка).

Стандартное отклонение − квадратный корень из дисперсии (s):

=СТАНДОТКЛОН(Выборка) или =КОРЕНЬ(ДИСП(Выборка)).

Ошибка среднего (m):

=СТАНДОТКЛОН(Выборка)/КОРЕНЬ(СЧЕТ(Выборка)).

Медиана − это значение, которое соответствует середине отсортированной по возрастанию выборки (med):

=МЕДИАНА(Выборка).

Границы доверительного интервала (интервал значений выборки, в который помещается 95% элементов выборки)

Левая граница (ML):

=СРЗНАЧ(Выборка)−2*СТАНДОТКЛОН(Выборка).

Правая граница (MP):

=СРЗНАЧ(Выборка)+2*СТАНДОТКЛОН(Выборка).

Функции в формулы вставляются в два шага.

Вначале выполняется последовательность команд Вставка | Функция … или нажатием на кнопку в строке формул. После чего откроется диалоговое окно Мастер функций, в котором выбирается нужная функция.

Н а втором шаге, в окне Аргументы функции, в соответствии с синтаксисом функции вставляются необходимые аргументы.

Контрольные вопросы

1. Оцените преимущества присвоения имени диапазону при копировании и перемещении.

2. Что происходит с ссылками и значениями числовых характеристик выборки, выделенных заливкой групп ячеек, при копировании и перемещении на рабочем листе?

3. Используя рассчитанные числовые характеристики выборки, определите статистические свойства выборки.

Задание 2

Применяя матричные операции произвести действия над матрицами. Матрицам присвоить имена.

1. Используя поэлементные операции получить следующие матрицы:

А³; А²В; А²В-В; (А-В)²; (АВ)³; А³В+В²А.

2. Вычислить определитель матриц:

3. Найти значение формы Z =Y^T X²X^T для чётного варианта и Z = X²X^TY для нечётного варианта если:

Задание 3

Решить систему уравнений методами: обратной матрицы и по формулам Крамера. Сделать проверку решения. Системы уравнений задания находятся в папке Лабораторная работа 6 файл Задание 3.doc.

Методика выполнения задания

В общем случае решение системы линейных уравнений

имеет вид Х = А^-1В, где А − матрица коэффициентов а_ij,, В − вектор-столбец свободных членов, Х − вектор-столбец неизвестных, А^-1 − матрица, обратная к матрице А.

Пример

Решить систему уравнений:

Х₁ + Х₂ + Х₃ = 6

2Х₁ − Х₂ + Х₃ = 3

3Х₁ + Х₂ − Х₃ = 2

1. Решение системы уравнений методом обратной матрицы:

Аобр = {=МОБР(А)} =

X = {=МУМНОЖ(Аобр; В)} = Проверка А*Х = В.

2. Решение по формулам Крамера.

Создаем вспомогательные матрицы А1, А2 и А3 заменой соответствующих столбцов матрицы А вектором-столбцом В:

А1 = А2 = А3 =

Вычисляем определитель матрицы А:

D = {=МОПРЕД(А)} = 10.

Вычисляем определители вспомогательных матриц:

D1 = {=МОПРЕД(А1)} = 10;

D2 = {=МОПРЕД(А2)} = 20;

D3 = {=МОПРЕД(А3)} = 30.

Вычисляем неизвестные:

Х₁ = D1/D = 1;

X₂ = D2/D = 2;

X₃ = D3/D = 3.

Методика решения системы линейных уравнений методом обратной матрицы и по формулам Крамера приведена в файле Решение системы уравнений.doc (папка Лабораторная работа 6).

Контрольные вопросы

1. Назовите числовые характеристики, которыми может описываться выборка. Приведите их формулы принятые в MS Excel.

2. Как в формулу вводится встроенная функция?

3. В чем отличие диапазона ячеек от массива?

4. Как присвоить имя диапазону, массиву?

5. Что необходимо сделать на рабочем листе перед вводом массива?

6. Как осуществляется ввод формулы массива?

7. Как завершается ввод при наборе формулы для работы с массивом ячеек?

8. Напишите формулу поэлементного произведения массивов.

9. В чем заключается последовательность действий при работе с массивами?

10. Какие существуют встроенные функции для работы с массивами?

11. Как выглядит формула, содержащая массивы, в строке формул?

12. Объясните правило умножения матриц.

13. Какая матричная операция называется транспонированием?

10