teor_ver_2008

единицу.

Например, если какой-то множитель Лагранжа равен нулю, то малые изменения соответствующей константы ограничений не окажут никакого влияния на экстремаль- ное значение целевой функции.

В экономических задачах распределения ресурсов целевая функция имеет раз- мерность стоимости, то есть цены, умноженной на объем продукции (например, при- быль, выручка, издержки), а с помощью ограничений устанавливается определенное значение некоторого количества (например, затрат). В таких задачах с помощью мно- жителя Лагранжа определяется чувствительность целевой функции, имеющей размер- ность стоимости, к изменениям некоторого количества. Поэтому множитель Лагранжа имеет размерность цены и характеризует ценность какого-либо i -о ресурса. Поэтому множитель Лагранжа также называется теневой ценой (данного вида затрат).

Подробнее с рассмотренными понятиями и методами математического анализа и линейной алгебры можно ознакомиться, например, в [17, 18].

53

æ 18 12 ö

Получена одна критическая точка M ç , ÷ .

è 13 13 ø

Для контроля правильности вычислений подставим ее координаты в ограниче- ние задачи:

18 12 132 + 133 = 139 + 134 =1.

Выполнение ограничения свидетельствует о правильности вычислений.

Пятый этап алгоритма не выполняется, так как критическая точка одна.

2-й способ (методом множителей Лагранжа).

В соответствии с алгоритмом решения задачи на условный экстремум целевой функции двух переменных с одним ограничением методом множителей Лагранжа име- ем.

1. Функция Лагранжа имеет вид

Приравнивание частных производных к нулю в соответствии с необходимым условием безусловного экстремума функции приводит к получению системы из трех уравнений вида

3. Решение полученной системы линейных уравнений методом подстановки имеет вид:

54

А. Проверка достаточного условия экстремума функции Лагранжа с использо- ванием достаточного условия экстремума функции двух переменных.

При вычислении этих частных производных второго порядка числовое значение λ 0 не использовалось, так как оно входит в свободный член частных производных пер-

вого порядка и поэтому не влияет на выражения для частных производных второго по- рядка по переменным x и y .

минимум.

Б. Проверка достаточного условия экстремума функции Лагранжа с использо- ванием достаточного условия экстремума функции n переменных при n = 2 (путем

55

установления знакоопределенности матрицы Гессе, составленной из частных произ- водных функции Лагранжа по переменным x и y , на основе критерия Сильвестра).

В общем случае матрица Гессе, составленная для частных производных второго порядка функции Лагранжа L ( x , y , λ 0 ) в критической точке по переменным x и y ,

имеет вид

Подставляя в эту матрицу значения частных производных второго порядка, вы- численные при проверке достаточного условия экстремума функции Лагранжа с ис- пользованием достаточного условия экстремума функции двух переменных, получим

Гессе данной задачи в критической точке является положительно определенной.

В соответствии с достаточным условием экстремума функции n переменных

при положительно определенной матрице Гессе целевая функция имеет в критической точке локальный минимум.

5. Вычисление локальных экстремумов функции z = f ( x, y ) и выбор того из

них, в котором целевая функция задачи принимает максимальное (минимальное) зна- чение.

Так как критическая точка одна, то она является точкой глобального минимума

Требуется выбрать один вариант ответа.

56

ные издержки ci j , связанные с перевозкой единицы продукта из пункта Ai в пункт B j .

Требуется составить план перевозок, обеспечивающий при минимальных транс- портных расходах (издержках) удовлетворение спроса всех пунктов потребления за счет продукта, произведенного во всех пунктах производства.

Обозначим через xi j количество единиц груза, запланированных к перевозке от i -о поставщика к j -у потребителю. Тогда условие задачи можно представить в виде табл. 5.

суммарная мощность поставщиков равна суммарной мощности потребителей (другими словами, если существует баланс между запасами и потребностями). В противном слу- чае транспортная задача называется открытой.

Решение

В рассматриваемом задании транспортная задача будет закрытой, если будет выполняться равенство 100 + a + 200 = 50 + 60 + b + 200. Отсюда a − b =10 .

Значение a − b в вариантах ответов равно: 1) 20; 2) 10; 3) 30; 4) 0.

Номер варианта ответа: 2.

57

2.4. Типовые задания по экономико-математическим моделям

Экономико-математические модели – математические описания экономиче- ских процессов, явлений или объектов, включающие:

1)теоретические микроэкономические модели – модели, описывающие взаи- модействие структурных и функциональных составляющих экономики или их поведе- ние в отдельности в рыночной среде (модели поведения потребителей и производите- лей в условиях совершенной и несовершенной конкуренции);

2)теоретические макроэкономические модели – модели, которые описывают экономику как единое целое со связями между агрегированными материальными и фи- нансовыми показателями (валовой внутренний продукт, потребление, инвестиции, за- нятость, денежная масса, государственный долг, инфляция) (модели общего экономи- ческого равновесия и модели развития экономики).

Студенты специальности “Национальная экономика” в рамках дисциплины “Математика” знакомятся с простейшими микроэкономическими моделями.

Для самостоятельного изучения экономико-математических моделей студентами экономических специальностей можно рекомендовать учебники (учебные пособия) [15, 19, 20] и экономико-математический энциклопедический словарь [21].

2.4.1.Задание № 29 по теме “Функции полезности”

Функция полезности потребителя имеет вид u = x y . Цена на благо x равна 5, на благо y равна 10, доход потребителя равен 200. Тогда оптимальный набор благ по- требителя имеет вид …

Варианты ответов:

Требуется выбрать один вариант ответа.

Краткие теоретические сведения по теме

Одним из основных элементов экономической теории является домашнее хозяй- ство (потребитель), определяемое как группа индивидуумов, распределяющая свой доход на покупку и потребление товаров и услуг. Основная проблема при изучении по- ведения потребителя заключается в том, чтобы установить, в каких объемах он приоб- ретает наличные товары и услуги при заданных ценах и доходе. К основным понятиям, используемым при построении математических моделей поведения потребителей, от- носятся: пространство товаров, бюджетное множество, предпочтения потребителя, функция полезности потребителя.

Поведение потребителя, рассматриваемое с точки зрения рационального ведения хозяйства, математически выражается в выборе некоторой точки из “пространства то- варов”. Под товаром понимается некоторое благо или услуга, поступившее в продажу в определенное время в определенном месте.

Пусть n - конечное число рассматриваемых товаров;

58

тенных потребителем за определенный период (например, за год) при заданных ценах на товары P = ( p1 , p 2 , ... , pi , ... , p n ) и его доходе Q за этот же период.

Пространством товаров называется множество всех возможных наборов то-

варов, то есть C ={ X : X ³ 0} (C ={ X = ( x1 , x 2 , ... , x n )T : xi ³ 0, i =1, 2, ... , n}).

Возможные наборы товаров в таком истолковании представляют собой векторы пространства товаров. Пространство товаров является неотрицательной частью n - мерного евклидова пространства.

Скалярное произведение набора товаров X и вектора их цен P представляет собой число, называемое стоимостью набора товаров X и обозначаемое как C ( X ) :