2. Предел функции

К элементарным функциям относятся: 1) простейшие элементарные функции: постоянная с, степенная , показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратные тригонометрические; 2) всефункции, получающиеся из простейших элементарных функций путем применения конечного числа следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций (сложная функция). В класс элементарных функций попадают: а) многочлен; б) рациональная дробь (отношение двух многочленов); в), т.к.; г); д), т.к., и множество других.

Пусть функция определена во всех точках интервала, за исключением, быть может, точки. Число А называетсяпределом функции в точке, если для любогосуществует числотакое, что для любогоx, удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство, при этом пишут. Можно дать другое, равносильное приведенному, определение: числоA называется пределом функции в точкеx₀, если для любой последовательности чисел , сходящейся к,. Еслиопределена в интервале,то числоA называется пределом при ,если для любого существует число, такое, что неравенствовлечет за собой неравенство. При этом пишутили. Аналогично определяется.

Типовые примеры

Доказать (найти , что:

1) ,2).

1) ►Надо доказать, что для , для которых, выполняется неравенстводля. Имеем:

Примем . Тогда. Итак, длятакое, чтодля, для которых.◄

2) ►Пусть ,. Тогда. Здесь в числителе пользуемся неравенствома в знаменателе пользуемся неравенством . Пусть . Тогда. Итак, длятакое, что неравенствовыполняется для всехx, для которых .◄

Число A называют пределом функции в точке слева (справа) и пишут или, или, если для любогонайдетсятакое, что для(для) справедливо неравенство. ЧислоA является пределом в точке, если совпадают пределыв этой точке слева и справа:.

Если функция определена в интервале(в интервале) и для любогоM существует такое, что для любого(для любогосправедливо неравенство, то говорят, что левый (правый) предел функциив точкеравен, и при этом пишутилиилиАналогично определяютсяи.

Предел функции обладает теми же свойствами, что и предел последовательности: если ,, то

1. 

2. 

3. 

4. 

(последнее при ). То же верно для односторонних пределов.

Имеют место равенства

, ,

называемые первым и вторым замечательными пределами. Можно доказать, что

₁₎ = e, 4) = ,

₂₎ = , 5) = 1,

₃₎ = 1, 6) = .

Заметим, что если то в указанных равенствах можно заменитьx на

Например,

При нахождении пределов вида следует иметь в виду, что:

1)если существуют конечные пределы и, то;

2)если и, то вопрос о нахождении данного предела решается непосредственно, при этом помним, чтои;

3)если и, то полагают, гдеприи, следовательно,, где.

Для определения пределов последовательностей и функций используются некоторые известные приемы.

Типовые примеры

1) .

►Если необходимо найти предел , можно предварительно привести к общему знаменателю

.

Поделив на член, имеющий максимальную степень, получим в числителе постоянную величину, а в знаменателе – все члены, стремящиеся к 0,то есть

.◄

2)

►Данный пример решается аналогично предыдущему:

◄

3) .

►При подстановке , получим.◄

4) .

►В этом пределе, если подставить , то получится неопределенность, которую можно преодолеть, если разложить разность кубов в знаменателе, а числитель в виде: .

Тогда и подставив , получим: .◄

5) .

►Если необходимо найти предел рациональной функции , то при делении на член с минимальной степенью, получим; и, устремивк 0, получим: .◄

6) ►Имеет место неопределенность вида Так какявляется корнем многочленов из числителя и знаменателя, товыделяется как сомножитель в числителе и знаменателе. Для разложения на множители выполним деление «уголком» Имеем

◄

Если в пределах содержатся иррациональные выражения, то приходится вводить новые переменные для получения рационального выражения, или же переводить иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот.

7) .

►Сделаем замену переменной. Заменим , при, получим.◄

8) .

►Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то предел не изменится. Умножим числитель на и разделим на это же выражение, чтобы предел не изменился, а знаменатель умножим наи разделим, на это же выражение. Тогда получим:

◄

9) .

►[]=(Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю) =

◄

10)

►Имеет место неопределенность вида Произведем заменуТогда при

◄

11) .

►Для вычисления такого предела сведем его к 1-му замечательному пределу. Для этого умножим и разделим числитель на , а знаменатель на, тогда.◄

12) .

►= [ по первому замечательному пределу ] = ◄

13) .

►

◄

14).

►Для вычисления этого предела сведем его ко второму замечательному пределу. С этой целью из рационального выражения в скобках выделим целую часть и представим ее в виде правильной дроби. Так поступают в тех случаях, когда , где, а, где;

, а , то окончательно. Здесь использовалась непрерывность композиции непрерывных функций. ◄

15) ► =[ по второму замечательному пределу ] =

◄

16) .

►

◄

17).

►Имеем и. Поэтому.◄

18) Найдите и , если .

► Рассмотрим нахождения левого и правого пределов. Пусть ЕслиСледовательно,Если же

и

Таким образом, Это означает, что не существует◄