4. Числовые промежутки

Пусть и– действительные числа, причем.Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

–отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);

–интервал (открытый промежуток).

	полуоткрытые интервалы
	бесконечные интервалы

Числа иназываются соответственнолевым и правым концами промежутков. Символы ине числа, это символическое обозначение неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Пусть точка –любое действительное число (точка на числовой прямой).

Окрестностью точки называется любой интервал , содержащий точку. Интервал, где, называется – окрестностью точки , число –центр интервала, число –радиус интервала. Если, то выполняется неравенство. Это означает попадание точкив– окрестность точки.

5. Границы числовых множеств

Пусть - некоторое подмножество множества действительных чисел.

Если существует число такое, что длявыполняется неравенство, то множествоназываетсяограниченным сверху (числом ). Числоназывается верхней границей множества.

Если существует число такое, что длявыполняется неравенство, то множествоназываетсяограниченным снизу (числом ). Числоназывается нижней границей множества.

Если существует число такое, что длявыполняется неравенство, то множествоназываетсяограниченным.

ТЕОРЕМА. Множество ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено сверху и снизу.

Если множество ограничено сверху, то множество его верхних границ бесконечно (если число - верхняя граница, то верхними границами будут числаи т.д.). Обозначиммножество верхних границ множества. Множествоограничено снизу (любым элементом множества).

Возможны два случая: либо множество имеет максимальный элемент (например, если – отрезок [0, 1], то максимальный элемент равен 1), в этом случае множество верхних границ не имеет минимального элемента; либо множество не имеет максимального элемента (например, если = (0, 1)), в этом случае множество верхних границ имеет минимальный элемент.

Точной верхней границей, или верхней гранью, множества , ограниченного сверху, называется максимальный элемент этого множества, если он существует, и минимальный элемент множества верхних границ, если множество не имеет максимального элемента.

Для обозначения применяются: символы или.

Свойства верхней грани

Пусть – верхняя грань множества. Тогда

длявыполняется неравенство.

Любое число, меньшее , не будет верхней границей множества, т.е. длятакой, что.

Аналогичным образом, если множество ограничено снизу, то множество его нижних границ бесконечно. Обозначим множество нижних границ множества . Множествоограничено сверху (любым элементом множества).

Точной нижней границей, или нижней гранью, множества , ограниченного снизу, называется минимальный элемент этого множества, если он существует, и максимальный элемент множества нижних границ, если множество не имеет минимального элемента.

Для обозначения применяются: символы или.

Свойства нижней грани

Пусть - нижняя грань множества. Тогда длявыполняется неравенство.

Любое число, большее , не будет нижней границей множества, т.е. длятакой, что.