Глава 8
ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
ЗАДАНИЕ 1
Для заданного ряда: а) найдите сумму первых 4-x членов ряда; б) докажите сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости; в) найдите сумму ряда:
1)
З; 2)
З;
3)
З; 4)
З;
5)
З; 6)
З;
7)
З; 8)
З;
9)
:
11)
.
ЗАДАНИЕ 2
Найдите сумму ряда:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
ЗАДАНИЕ 3
Найдите сумму ряда:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
ЗАДАНИЕ 4
Установите расходимость ряда, используя критерий Коши или необходимый признак сходимости ряда:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
.
ЗАДАНИЕ 5
Исследуйте сходимость ряда с помощью признаков сравнения:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
.
ЗАДАНИЕ 6
Исследуйте сходимость ряда с помощью признаков сравнения:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
.
ЗАДАНИЕ 7
Исследуйте сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
.
ЗАДАНИЕ 8
Исследуйте
сходимость ряда с помощью радикального
признака Коши (в некоторых случаях
следует воспользоваться тем, что
):
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
ЗАДАНИЕ 9
Исследуйте сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
.
ЗАДАНИЕ 10
Исследуйте на сходимость числовой ряд:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
ЗАДАНИЕ 11
Исследуйте на сходимость числовой ряд:
1)
;2)
;
3)
;4)
;
5)
;6)
;
7)
;8)
;
9)
;10)
.
ЗАДАНИЕ12
Исследуйте на сходимость числовой ряд:
1)
;2) 
;
3)
;4) 
;
5)
;6) 
;
7)
;8) 
;
9)
;10) 
.
ЗАДАНИЕ 13
Исследуйте на сходимость числовой ряд:
1)
;2)
;
3)
;4)
;
5)
;6)
;
7)
;8)
;
9)
;10)
.
ЗАДАНИЕ 14
Исследуйте на сходимость числовой ряд:
1)
;2)
;3)
;
4)
;5)
;6)
;
7)
;8)
;9)
;
10)
.
ЗАДАНИЕ 15
Исследуйте на сходимость числовой ряд:
1)
;2)
;3)
;
4)
;5)
;6)
;
7)
;8)
;9)
;
10)
.
ЗАДАНИЕ 16
Исследуйте на сходимость ряды:
1) а)
; б)
;
в)
; г)
;
2) а)
; б)
;
в)
; г)
;
3) а)
; б)
;
в)
; г)
;
4) а)
; б)
;
в)
; г)
;
5) а)
; б)
;
в)
; г)
;
6) а)
; б)
;
в)
; г)
;
7) а)
; б)
;
в)
; г)
;
8) а)
; б)
;
в)
; г)
;
9) а)
; б)
;
в)
; г)
;
10а)
; б)
;
в)
; г)
.
ЗАДАНИЕ 17
Исследуйте на сходимость, абсолютную или условную сходимость знакочередующийся ряд:
1)
; 2)
;3)
;4)
;
5)
;6)
;7)
;8)
;
9)
;10) 
.
ЗАДАНИЕ 18
Исследуйте ряд на абсолютную и условную сходимость.
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
.
ЗАДАНИЕ 19
Исследуйте на сходимость, абсолютную или условную сходимость знакочередующийся ряд:
1)
;2)
;3)
;
4)
;5)
;6)
;
7)
;8) 
;9)
;
10)
.
ЗАДАНИЕ 20
Исследуйте на сходимость ряды:
1)а)
; б)
;
в)
; г)
;
2)а)
; б)
;
в)
; г)
;
3)а)
; б)
;
в)
; г)
;
4)а)
; б)
;
в)
; г)
;
5)а)
; б)
;
в)
; г)
;
6)а)
; б)
;
в)
; г)
;
7)а)
; б)
;
в)
; г)
;
8)а)
; б)
;
в)
; г)
;
9)а)
; б)
;
в)
; г)
;
10)а)
; б)
;
в)
; г)
.
ЗАДАНИЕ 21
Найдите интервал и область сходимости степенного ряда:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
ЗАДАНИЕ 22
Найдите область сходимости степенного ряда:
1)
; 6)
;
2)
; 7)
;
3)
; 8)
;
4)
; 9)
;
5)
; 10)
.
ЗАДАНИЕ 23
Найдите область сходимости ряда:
1)
;2)
;3)
;4)
;
5)
;6)
;7)
;8)
;
9)
;10)
.
ЗАДАНИЕ 24
Найдите область сходимости ряда:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
ЗАДАНИЕ 25
Найдите область сходимости ряда:
1)
;2)
;3)
;
4)
;5)
;6) 
;
7)
;8)
;9)
;
10)
.
ЗАДАНИЕ 26
Исследуйте на сходимость: а) знакоположительный ряд; б) знакочередующийся ряд; в) Найдите радиус степенного ряда и Исследуйте его сходимость на концах полученного интервала.
|
1. |
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
10. |
|
|
|
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
;
;
.
ЗАДАНИЕ 27
Дано
разложение функции
в
ряд Тейлора в окрестности точки
.
Найдите
:
1)
f(x)
= 2-3(x+7)-(x+7)2+3(x+7)3+O((x+7)4)
,
,
;Ответ
f''(-7)
= -2
2)
f(x)
= 7-4(x+1)-10(x+1)2+2(x+1)3+O((x+1)4)
,
,
; Ответ f''(-1)
= -20
3)
f(x)
= -1-6(x+3)+2(x+3)2-3(x+3)3+O((x+3)4)
,
,
;Ответ f''(-3)
= 4
4)
f(x)
= 5+10(x+6)+10(x+6)2+7(x+6)3+O((x+6)4)
,
,
;Ответ f'(-6)
= 10
5) f(x)
= -9+6(x+4)+5(x+4)2-(x+4)3+O((x+4)4)
,
,
; Ответf'(-4)
= 6
6)
f(x)
= -10+5(x-10)-(x-10)2-6(x-10)3+O((x-10)4)
,
,
;Ответ
f''(10)
= -2
7)
f(x)
= -7-5(x+3)-9(x+3)2+3(x+3)3+O((x+3)4)
,
,
;Ответ f''(-3)
= -18
8)
f(x)
= 2+8(x-9)-4(x-9)2-10(x-9)3+O((x-9)4)
,
,
;Ответ f'(9)
= 8
9)
f(x)
= -5-6(x+4)+2(x+4)2+2(x+4)3+O((x+4)4)
,
,
;Ответ f''(-4)
= 4
10)
f(x)
= -5+9(x+2)-5(x+2)2-(x+2)3+O((x+2)4)
,
,
.Ответ f'(-2)
= 9
ЗАДАНИЕ 28
Предположим,
что мы можем представить функцию
в окрестности точки
в данном виде. Найдите
и
.
1) f(x) = -10-3(x-3)+4(x-3)2+7(x-3)3+O((x-2)4); Ответ x0 = 2 f '(x0) = 10
2) f(x) = 1+5(x+3)+8(x+3)2+3(x+3)3+O((x-2)4); Ответ x0 = 2 f '(x0) = 310
3) f(x) = -1+8(x-3)-4(x-3)2+8(x-3)3+O((x-5)4); Ответ x0 = 5 f '(x0) = 88
4) f(x) = 10+(x-4)+(x-4)2+(x-4)3+O((x+2)4); Ответ x0 = -2 f '(x0) = 97
5) f(x) = -9+5(x-3)-(x-3)2-7(x-3)3+O((x-5)4); Ответ x0 = 5 f '(x0) = -83
6) f(x) = -7+7(x-2)-4(x-2)2+6(x-2)3+O((x-3)4); Ответ x0 = 3 f '(x0) = 17
7) f(x) = -4-2(x+4)+(x+4)2-9(x+4)3+O((x+5)4); Ответ x0 = -5 f '(x0) = -31
8) f(x) = 10+(x+3)-3(x+3)2+7(x+3)3+O((x+4)4); Ответ x0 = -4 f '(x0) = 28
9) f(x) = 5+(x-3)-6(x-3)2+10(x-3)3+O((x+3)4); Ответ x0 = -3 f '(x0) = 1153
10) f(x) = -5+10(x+5)+10(x+5)2-4(x+5)3+O((x-3)4). Ответ x0 = 3 f '(x0) = -598