Практикум по элементарной математике (цвет)
.doc
Решение.
Если
,
то
и неравенство системы предстает в виде
.
Оно, а значит и сама система, действительных
решений не имеет. Следовательно,
.
Тогда
и неравенство можно переписать в виде:
.
Далее рассмотрим два случая.
1)
Пусть
.
Тогда
.
Найдем
корни уравнения
:
.
Решением
неравенства
будет интервал
при
условии, что дискриминант
.
По условию задачи этот интервал должен
содержать хотя бы одну точку
.
Так как
,
то условие задачи будет выполнено в том
и только том случае, когда
2)
Пусть
.
Тогда
.
Решением
неравенства
будет интервал
при
условии, что дискриминант
.
Так как
,
то условие задачи будет выполнено в том
и только том случае, когда
где
- корни уравнения
.
#
Замечание.
Геометрический смысл задачи состоит в
нахождении тех параметров
,
при которых парабола
пересекает внутренность окружности
:
Пример
2. Найти
множество всех пар
действительных чисел, для каждой из
которых равенство
верно для всех положительных чисел
.
Решение.
Подставим в равенство
три значения:
,
и
.
Получим, соответственно, три равенства:
Составим
систему уравнений относительно
неизвестных
и
,
возведя в квадрат первое равенство и
перемножив второе и третье:
Итак,
для того чтобы равенство
выполнялось для значений
,
и
,
необходимо, чтобы
и
.
Осталось лишь убедиться, что при этих
значениях параметров
и
заданное равенство будет выполнено для
всех
.
Это действительно так, поскольку при
и
исходное равенство является тождеством:
.
#
Найти
все числа
,
для каждого из которых система имеет
действительные решения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Найти
множество всех пар
действительных чисел, для каждой из
которых при всех
верно равенство:
8)
;
9)
;
10)
.
Доказать,
что для всех действительных чисел
и
верно неравенство:
11)
;
12)
;
13)
.
2) Во второй части задания содержатся задачи на пирамиды.
Пример
3. В правильной
четырехугольной пирамиде
с вершиной
все ребра равны
.
Через вершину
и середины ребер
и
проведена плоскость. Найдите площадь
и периметр сечения, отношение объемов
рассекаемых плоскостью частей пирамиды,
расстояние от вершины
до секущей плоскости, а также угол между
плоскостью основания и секущей плоскостью.
Решение.
Пусть
и
середины ребер
и
соответственно, а
- точка пересечения продолжений отрезков
и
.
Искомое сечение представляет собой
четырехугольник
,
где
- точка пересечения отрезков
и
.
Поскольку
все боковые грани пирамиды являются
правильными треугольниками, то
- это высота, медиана и биссектриса
.
Поэтому
.
Далее заметим, что
,
так что
и, значит,
и
- медианы
.
Следовательно,
и
.
По теореме косинусов
.
Аналогично находим
.
Наконец, по теореме Пифагора
,
так что периметр
сечения
равен:
.
Для
вычисления площади
применим формулу Герона:
,
где
,
и
- длины сторон
,
а
- его полупериметр. Так как
и
,
то
и
С
другой стороны,
,
поэтому
и, значит,
.
Теперь
и
-
величина искомой площади сечения.
Пусть
и
.
Так как пирамида
- правильная, то
- высота пирамиды. Следовательно,
- высота пирамиды
,
а
- высота пирамиды
,
причем
(поскольку
-
средняя линия
),
а
(так как
).
По теореме Пифагора
,
,
а
.
Теперь
,
и
.
Отсюда находим объем нижней части
пирамиды:
и объем верхней части пирамиды:
.
Следовательно,
- отношение
объемов рассекаемых плоскостью частей
пирамиды.
Так
как объем пирамиды
,
где
- расстояние
от вершины
до секущей плоскости,
то
.
Наконец,
- это линейный угол двухгранного угла,
образованного плоскостью основания
пирамиды и секущей плоскостью, и
.
Поскольку
,
то
.
Следовательно,
-
искомый угол между плоскостью основания и секущей плоскостью. #
Решить задачи:
14)
Угол между высотой правильной пирамиды
и ее боковым ребром равен
.
В каком отношении делит высоту пирамиды
центр описанного около него шара?
15)
В основании
правильной четырехугольной пирамиды
лежит квадрат со стороной
.
Высота пирамиды равна стороне этого
квадрата. Пирамида рассечена плоскостью,
параллельной ее боковой грани. Найти
периметр сечения, если известно, что в
него можно вписать окружность.