Практикум по элементарной математике (цвет)

2) Вторая часть задания содержит задачи на движение тел. Решение таких задач сводится к решению уравнений или их систем, при составлении которых часто в качестве неизвестных берется скорость движения этих тел.

Пример 2. Если пароход и катер плывут по течению реки, то расстояние от пункта до пункта пароход проходит в 1,5 раза быстрее катера, при этом катер каждый час отстает от парохода на 8км. Если они плывут против течения, то пароход проходит расстояние от до в 2 раза быстрее катера. Найдите скорости парохода и катера в стоячей воде.

Решение. Обозначим за расстояние между пунктами и , а за и - скорости парохода и катера в стоячей воде. Из условия задачи следует, что скорость течения реки составляет 8 км/час. Условия задачи можно записать в виде системы двух уравнений:

#

Решить задачи:

16) Поезд вышел со станции А по направлению к станции В. Пройдя 450км, что составляло 75% всего пути от А до В, поезд остановился. Через полчаса движение возобновилось, и машинист, увеличив скорость поезда на 15км/ч, привел его на станцию В без опоздания. Найдите начальную скорость поезда.

17) Автомобиль выехал из города А в город В, расстояние между которыми 234км. Через час из города В навстречу ему выехал автомобиль, проезжавший в час на 12км больше первого. Определите скорость каждого автомобиля, если они встретились на расстоянии 108км от города В.

18) Два поезда вышли из города А в город В. Весь путь каждый из поездов прошел с постоянной скоростью. Второй поезд вышел на 5 ч позже первого и прибыл в В одновременно с первым поездом. За один час до прибытия в В расстояние между поездами составляло 30км, а когда первый поезд находился в середине пути, второй отставал от него на 225км. Определите скорости поездов и расстояние между городами А и В.

19) Моторная лодка прошла вниз по течению реки 14км, а затем 9км против течения, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость моторной лодки в стоячей воде равна 5км/ч.

20) Лодка спускается вниз по течению реки из пункта А в пункт В, находящийся в 10км от А, а затем возвращается в А. Если собственная скорость лодки 3км/ч, то путь из А в В занимает на 2 ч 30 мин меньше, чем из В в А. Какой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка из А в В заняла 2 ч?

5 задание

1) При решении неравенств проверку найденных решений, как правило, выполнить не удается, поэтому здесь приходится опираться лишь на области определения неравенств. Среди иррациональных неравенств наиболее часто применяются два типа неравенств.

Пример 1. Решить неравенство: .

Решение. Имеем:

. #

Пример 2. Решить неравенство: .

Решение. Имеем:

#

Решить неравенства:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ; 13).

2) Вторая часть задания содержит задачи по планиметрии.

Пример 3. Медианы треугольника равны 13, 14 и 15см. Найдите площадь треугольника.

Решение. Опираясь на известную теорему о том, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении , считая от вершины угла, проведем дополнительное построение: продолжим медиану за точку так, чтобы , и точку соединим с точками и .

Четырехугольник будет параллелограммом, так как его диагонали и делятся пополам точкой . Поскольку , а треугольники и имеют одинаковую высоту, то . Но , поэтому . Стороны треугольника равны , и см, поэтому по формуле Герона , где , и - длины сторон треугольника, а - его полупериметр. Следовательно,

,

так что . #

Решить задачи:

14) Биссектриса одного из углов параллелограмма делит его диагональ на отрезки длиной 4см и 6см. Найти периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 24см.

15) Точка, взятая на гипотенузе прямоугольного треугольника и одинаково удаленная от его катетов, делит гипотенузу на отрезки, длины которых равны 40см и 30см. Найти катеты треугольника.

16) Из точки проведены две касательные к окружности, длиной 5см каждая. Расстояние между точками касания равно 6см. Найдите радиус окружности.

17) Стороны треугольника равны 13см, 14см и 15см. Две меньшие из них служат касательными к окружности, центр которой лежит на третьей стороне. Найти длину окружности.

18) Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину стороны и пересекает сторону в точке так, что . Найти площадь треугольника , если .

19) В острый угол, равный 60, вписаны две окружности, внешним образом касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности 2см. Найдите радиус большей окружности.

20) В параллелограмме длина диагонали равна 2м, , причем касается окружности, описанной около треугольника . Найти площадь параллелограмма .

6 задание

1) При решении уравнений, содержащих показательные функции, могут быть полезны следующие известные формулы:

, , , , .

Решить уравнения и системы уравнений:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) 11)

12) 13) 14)

2) При решении задач на работу полезно помнить о том, что они близки по духу с задачами на движение: пройденный путь – это объем выполненной работы, а скорость движения – это производительность труда, т.е. объем выполненной работы за единицу времени.

Пример 1. Бригада рабочих должна была за определенный срок изготовить 400 деталей. В течение первых пяти дней бригада перевыполняла дневную норму на 20%, а в последующие дни изготовляла ежедневно 15 деталей сверх плана и уже за два дня до срока изготовила 405 деталей. Сколько деталей должна была ежедневно изготавливать бригада по плану?

Решение. Пусть - ежедневная норма выработки бригады (плановая ежедневная производительность труда). Тогда - планируемое время выполнения задания. Производительность бригады за первые 5 дней составила , а в оставшиеся дни работы она была . Условие задачи можно записать в виде уравнения:

Очевидно, условию задачи удовлетворяет . Это и является ответом на поставленную задачу. #

Решить задачи:

15) Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за 4 дня. Первая и вторая бригады вместе вспахали бы это поле за 6 дней, а первая и третья вместе – за 8 дней. Во сколько раз вторая бригада вспахивает за один день больше, чем третья?

16) Три обыкновенных и два тракторных плуга обрабатывают вместе поле за 6 дней. Три тракторных плуга выполнили бы ту же работу на 5 дней быстрее, чем девять обыкновенных. Во сколько раз производительность тракторного плуга больше производительности обыкновенного?

17) На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 6 мин меньше, чем второй. Сколько деталей обрабатывает каждый из них за 7 ч, если первый обрабатывает за это время на 8 деталей больше другого?

18) Двое рабочих, работая одновременно, выполнили всю работу за 5 дней. Если бы первый работал вдвое быстрее, а второй – вдвое медленнее, то работа заняла бы у них 4 дня. За сколько времени выполнил бы всю работу один первый рабочий?

19) Каждому из трех рабочих для выполнения некоторой работы требуется определенное время, причем третий рабочий выполняет ее на 1ч быстрее первого. Работая все вместе, они выполняют работу за один час. Если же первый рабочий проработает 1ч, то второму для завершения всей работы потребуется 4ч. За какое время может выполнить всю работу каждый рабочий?

20) Трое рабочих должны сделать 80 одинаковых деталей. Известно, что вместе они делают за час 20 деталей. К работе приступил сначала первый рабочий. Он сделал 20 деталей, затратив на это более 3ч. Оставшуюся часть работы выполнили вместе второй и третий рабочие. На всю работу было затрачено 8ч. Сколько часов потребовалось бы первому рабочему на всю работу, если бы с начала и до конца он делал ее один?

7 задание

1) При решении уравнений, содержащих логарифмические функции, часто используются следующие известные формулы:

, , ,

, , .

Решить уравнения:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ; 17) .

2) Вторая часть задания содержит задачи по планиметрии.

Пример 1. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой см биссектриса делит катет в отношении , а точка делит катет в отношении , считая от вершины прямого угла. Точка - точка пересечения и . Найдите площадь четырехугольника .

Решение. Выполним чертеж.

По теореме Фалеса , откуда см, см и см. Теперь по теореме Пифагора см, поэтому см и см. Вновь из теоремы Пифагора получаем, что см. Так как является биссектрисой , то по теореме Фалеса , откуда и см. Наконец, , и . Поэтому . #

Решить задачи:

18) В треугольнике проведена прямая параллельно основанию . Площадь треугольника равна 8 кв. ед., а площадь треугольника равна 2 кв. ед. Какую часть основания треугольника составляет отрезок ?

19) Стороны и трапеции параллельны, причем , а . Прямые и являются касательными к окружности, описанной около треугольника . Найти площадь треугольника .

20) В прямоугольном треугольнике с гипотенузой см биссектриса делит катет в отношении , а точка делит катет в отношении , считая от вершины прямого угла. Точка - точка пересечения и . Найдите площадь четырехугольника .

8 задание

1) Первая часть задания посвящена решению логарифмических неравенств.

Решить неравенства:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) ;

14) ; 15) ; 16) .

2) Вторая часть задания содержит задачи на прогрессии.

Решить задачи:

17) Три числа, произведение которых равно 125, являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии и одновременно первым, третьим и шестым членами арифметической прогрессии. Найдите эти числа.

18) Если к четырем числам, составляющим арифметическую прогрессию, прибавить соответственно 5, 6, 9 и 15, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

19) Если к четырем числам, составляющим геометрическую прогрессию, прибавить соответственно 4, 21, 29 и 1, то получатся четыре числа, составляющих арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

20) Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 124. Если к первому числу прибавить 1, из третьего вычесть 65, а второе оставить без изменения, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите указанные прогрессии.

9 задание

1) Решение тригонометрических уравнений данного параграфа основано на применении основного тригонометрического тождества:

,

формул двойного аргумента:

, , , ,

, ,

формул приведения:

, , , ,

, , ,

, , , ,